Для решения неравенства ( x^2 - 1 < 0 ) давайте разберем все шаги подробно.
Шаг 1: Преобразование неравенства
Первым делом, мы можем записать неравенство в виде:
[
x^2 < 1
]
Шаг 2: Определение границ
Теперь мы знаем, что ( x^2 < 1 ) означает, что квадрат числа ( x ) должен быть меньше 1. Чтобы лучше понять, где это происходит, давайте найдем, когда ( x^2 = 1 ):
[
x^2 = 1
]
Решением этого уравнения будут:
[
x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1
]
Шаг 3: Определение интервалов
Теперь у нас есть две точки: ( -1 ) и ( 1 ). Теперь нам нужно определить, на каких интервалах функция ( x^2 ) меньше 1. Мы можем рассмотреть три интервала, определенные этими точками:
- ( (-\infty, -1) )
- ( (-1, 1) )
- ( (1, \infty) )
Шаг 4: Проверка значений из интервалов
Теперь проверим каждую из этих трёх областей:
Для интервала ( (-\infty, -1) ), например, возьмем ( x = -2 ):
[
(-2)^2 = 4 \quad (4 < 1) \quad \text{не выполняется}
]
Для интервала ( (-1, 1) ), например, возьмем ( x = 0 ):
[
0^2 = 0 \quad (0 < 1) \quad \text{выполняется}
]
Для интервала ( (1, \infty) ), например, возьмем ( x = 2 ):
[
2^2 = 4 \quad (4 < 1) \quad \text{не выполняется}
]
Шаг 5: Подведение итогов
Единый интервал, где ( x^2 < 1 ), это:
[
(-1, 1)
]
Ответ
Таким образом, решением неравенства ( x^2 - 1 < 0 ) является:
[
-1 < x < 1
]
Правильный ответ:
−1 < x < 1
