Геометрическая прогрессия задана условиями с1=2 cn-1= -3cn найти cn

Чтобы решить задачу о геометрической прогрессии, давайте начнем с формулировки условия и определений, связанных с геометрической прогрессией. ### Определения: 1. **Геометрическая прогрессия** — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое **отношением прогрессии**. 2. Обозначим: - \( c_n \) — n-ый член прогрессии. - \( c_{n-1} \) — (n-1)-ый член прогрессии. ### Условия задачи: - \( c_1 = 2 \) - \( c_{n-1} = -3c_n \) ### Решение: 1. **Выразим c_n через c_{n-1}:** Из условия \( c_{n-1} = -3c_n \) можем выразить \( c_n \): \[ c_n = -\frac{c_{n-1}}{3} \] 2. **Теперь подставим \( c_1 \) для нахождения других членов:** Зная, что \( c_1 = 2 \): - \( c_2 \): \[ c_2 = -\frac{c_1}{3} = -\frac{2}{3} \] - \( c_3 \): \[ c_3 = -\frac{c_2}{3} = -\frac{-\frac{2}{3}}{3} = \frac{2}{9} \] - \( c_4 \): \[ c_4 = -\frac{c_3}{3} = -\frac{\frac{2}{9}}{3} = -\frac{2}{27} \] - \( c_5 \): \[ c_5 = -\frac{c_4}{3} = -\frac{-\frac{2}{27}}{3} = \frac{2}{81} \] 3. **Можно заметить закономерность:** Из наших расчетов видно, что каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на \(-\frac{1}{3}\). ### Общий вид n-ого члена: Можно установить формулу для n-ого члена \( c_n \): \[ c_n = (-1)^{n-1} \cdot \frac{2}{3^{n-1}} \] ### Проверка: Проверим полученные значения: - Для \( n = 1 \): \( c_1 = 2 \) (правильно) - Для \( n = 2 \): \( c_2 = -\frac{2}{3} \) (правильно) - Для \( n = 3 \): \( c_3 = \frac{2}{9} \) (правильно) - Для \( n = 4 \): \( c_4 = -\frac{2}{27} \) (правильно) ### Ответ: Таким образом, общий вид n-ого члена геометрической прогрессии: \[ c_n = (-1)^{n-1} \cdot \frac{2}{3^{n-1}} \] Эта последовательность чередует знаки и делит по 3.