геометрическая прогрессия задана условиями с1=2 cn-1= -3cn найти cn

Чтобы решить задачу о геометрической прогрессии, давайте начнем с формулировки условия и определений, связанных с геометрической прогрессией.

Определения:

1. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое отношением прогрессии.

2. Обозначим:

   • \( c_n \) — n-ый член прогрессии.
   • \( c_{n-1} \) — (n-1)-ый член прогрессии.

Условия задачи:

• \( c_1 = 2 \)
• \( c_{n-1} = -3c_n \)

Решение:

1. Выразим c_n через c_{n-1}: Из условия \( c_{n-1} = -3c_n \) можем выразить \( c_n \): \[ c_n = -\frac{c_{n-1}}{3} \]

2. Теперь подставим \( c_1 \) для нахождения других членов:
   Зная, что \( c_1 = 2 \):

   • \( c_2 \): \[ c_2 = -\frac{c_1}{3} = -\frac{2}{3} \]
   • \( c_3 \): \[ c_3 = -\frac{c_2}{3} = -\frac{-\frac{2}{3}}{3} = \frac{2}{9} \]
   • \( c_4 \): \[ c_4 = -\frac{c_3}{3} = -\frac{\frac{2}{9}}{3} = -\frac{2}{27} \]
   • \( c_5 \): \[ c_5 = -\frac{c_4}{3} = -\frac{-\frac{2}{27}}{3} = \frac{2}{81} \]

3. Можно заметить закономерность: Из наших расчетов видно, что каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на \(-\frac{1}{3}\).

Общий вид n-ого члена:

Можно установить формулу для n-ого члена \( c_n \): \[ c_n = (-1)^{n-1} \cdot \frac{2}{3^{n-1}} \]

Проверка:

Проверим полученные значения:

• Для \( n = 1 \): \( c_1 = 2 \) (правильно)
• Для \( n = 2 \): \( c_2 = -\frac{2}{3} \) (правильно)
• Для \( n = 3 \): \( c_3 = \frac{2}{9} \) (правильно)
• Для \( n = 4 \): \( c_4 = -\frac{2}{27} \) (правильно)

Ответ:

Таким образом, общий вид n-ого члена геометрической прогрессии: \[ c_n = (-1)^{n-1} \cdot \frac{2}{3^{n-1}} \]

Эта последовательность чередует знаки и делит по 3.