Саша покупает два киндер-сюрприза. Для каждого из них вероятность того, что игрушка внутри будет новой коллекции, равна 0,48. Обе игрушки окажутся из новой коллекции с…
Саша покупает два киндер-сюрприза. Для каждого из них вероятность того, что игрушка внутри будет новой коллекции, равна 0,48. Обе игрушки окажутся из новой коллекции с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что: a) хотя бы одна игрушка окажется из новой коллекции; б) ровно одна игрушка окажется из новой коллекции. В ответ запишите сумму получившихся результатов
Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать правила вероятности.
Обозначение событий:
- Обозначим событие \(A\) как то, что первая игрушка из новой коллекции.
- Обозначим событие \(B\) как то, что вторая игрушка из новой коллекции.
Из условия известно, что:
- Вероятность, что первая игрушка новая: \(P(A) = 0,48\)
- Вероятность, что вторая игрушка новая: \(P(B) = 0,48\)
- Вероятность того, что обе игрушки новые: \(P(A \cap B) = 0,2\)
Найдём вероятность того, что хотя бы одна игрушка окажется из новой коллекции (задача а): Для нахождения вероятности того, что хотя бы одна игрушка является новой, лучше использовать дополнение: \[ P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) \] Вероятность того, что обе игрушки не новые: \[ P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0,48 = 0,52 \] \[ P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0,48 = 0,52 \]
Теперь найдем вероятность того, что обе игрушки не новые: Поскольку события \(A\) и \(B\) не независимы, мы используем формулу: \[ P(A^c \cap B^c) = (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B)) + P(A) \cdot P(B) - P(A \cap B) \]
Теперь можно подставить значения: \[ P(A^c \cap B^c) = 0,52 \cdot 0,52 + (0,48 \cdot 0,48 - 0,2) \] \[ P(A^c \cap B^c) = 0,2704 + (0,2304 - 0,2) = 0,2704 + 0,0304 = 0,3008 \]
Теперь подставим это в формулу для \(P(A \cup B)\): \[ P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - 0,3008 = 0,6992 \]
Найдём вероятность того, что ровно одна игрушка окажется из новой коллекции (задача б): Для этого необходимо учитывать два случая:
- Первая игрушка новая, а вторая нет: \(P(A) \cdot P(B^c)\)
- Первая игрушка не новая, а вторая новая: \(P(A^c) \cdot P(B)\)
Теперь подставим значения: \[ P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c) = 0,48 \cdot 0,52 = 0,2496 \] \[ P(A^c \cap B) = P(A^c) \cdot P(B) = 0,52 \cdot 0,48 = 0,2496 \]
Поэтому вероятность того, что ровно одна игрушка окажется из новой коллекции: \[ P(\text{ровно одна}) = P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = 0,2496 + 0,2496 = 0,4992 \]
Сложим результаты: a) Вероятность хотя бы одной новой игрушки: \(0,6992\)
б) Вероятность ровно одной новой игрушки: \(0,4992\)Теперь нужно найти сумму: \[ 0,6992 + 0,4992 = 1,1984 \]
Таким образом, итоговый ответ на задачу: сумма вероятностей составляет \(1,1984\).
