Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 6 корень 3. Найдите периметр квадрата, описанного около той же окружности.
Давайте решим задачу, шаг за шагом.
Дано:
- Периметр правильного треугольника (т.е. равностороннего треугольника), вписанного в окружность, равен \( 6\sqrt{3} \).
Шаг 1: Найдем сторону равностороннего треугольника
Периметр равностороннего треугольника \( P \) определяется как: \[ P = 3a \] где \( a \) — длина стороны треугольника.
Зная, что периметр равностороннего треугольника равен \( 6\sqrt{3} \), можем найти сторону: \[ 3a = 6\sqrt{3} \] Разделим обе стороны на 3: \[ a = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \]
Шаг 2: Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник
Радиус окружности \( R \), описанной около равностороннего треугольника, определяется через сторону \( a \) следующим образом: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Подставляя значение \( a = 2\sqrt{3} \): \[ R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \]
Шаг 3: Найдем сторону квадрата, описанного около той же окружности
Сторона квадрата, описанного вокруг окружности радиуса \( R \), равна: \[ s = R \cdot \sqrt{2} \] Подставляя значение \( R = 2 \): \[ s = 2 \cdot \sqrt{2} \]
Шаг 4: Найдем периметр квадрата
Периметр квадрата \( P_{\text{квадрат}} \) рассчитывается как: \[ P_{\text{квадрат}} = 4s \] Подставляя значение \( s = 2\sqrt{2} \): \[ P_{\text{квадрат}} = 4 \cdot (2\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} \]
Ответ:
Периметр квадрата, описанного около окружности, равной окружности, вписанной в равносторонний треугольник с периметром \( 6\sqrt{3} \), равен \( 8\sqrt{2} \).
