Решите

Для решения задачи рассмотрим каждый из случаев по отдельности, используя свойства куба и формулы расстояний. Используем ту информацию, что куб — единичный, то есть его ребра равны 1.

а) Точка \( A \) до плоскости \( CDD_1 \) (рис. 25):

Точка \( A \) — начало координат \((0, 0, 0)\).

Плоскость \( CDD_1 \). Составим уравнение плоскости:

Точки \( C(1, 1, 0) \), \( D(0, 1, 0) \), \( D_1(0, 1, 1) \).

Направляющие векторы:

• \(\overrightarrow{CD} = (-1, 0, 0)\)
• \(\overrightarrow{CD_1} = (-1, 0, 1)\)

Вектор нормали \(\vec{n} = \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{CD_1} = (0, 1, 0)\).

Уравнение плоскости: \(y = 1\).

Расстояние от точки \( A(0, 0, 0) \) до плоскости:

\[ d = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = 1 \]

б) Точка \( A \) до плоскости \( BCD_1 \) (рис. 26):

Плоскость проходит через точки \( B(1, 0, 0) \), \( C(1, 1, 0) \), \( D_1(0, 1, 1) \).

Направляющие векторы:

• \(\overrightarrow{BC} = (0, 1, 0)\)
• \(\overrightarrow{BD_1} = (-1, 1, 1)\)

Вектор нормали \(\vec{n} = (1, 0, -1)\).

Уравнение плоскости: \((x - z = 0)\).

Расстояние от точки \( A(0, 0, 0) \) до плоскости:

\[ d = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = 0 \]

в) Точка \( A \) до плоскости \( ADD_1 \) (рис. 27):

Точки \( A(0, 0, 0) \), \( D(0, 1, 0) \), \( D_1(0, 1, 1) \).

Уравнение плоскости: \((x = 0)\).

Расстояние от точки \( A(0, 0, 0) \) до плоскости:

\[ d = \frac{|- 0|}{\sqrt{1}} = 0 \]

г) Точка \( B \) до плоскости \( ACC_1 \) (рис. 28):

Площадь через точки \( A(0, 0, 0) \), \( C(1, 1, 0) \), \( C_1(1, 1, 1) \).

Находим нормаль:

• \(\overrightarrow{AC} = (1, 1, 0)\)
• \(\overrightarrow{AC_1} = (1, 1, 1)\)

Вектор нормали \(\vec{n} = (1, -1, 0)\).

Уравнение плоскости: \(x - y = 0\).

Расстояние от точки \( B(1, 0, 0) \) до плоскости:

\[ d = \frac{|1 \cdot 1 - 1 \cdot 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, основные расстояния: а) 1, б) 0, в) 0, г) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).