Решите

Для решения задачи рассмотрим каждый из случаев по отдельности, используя свойства куба и формулы расстояний. Используем ту информацию, что куб — единичный, то есть его ребра равны 1. ### а) Точка \( A \) до плоскости \( CDD_1 \) (рис. 25): **Точка \( A \)** — начало координат \((0, 0, 0)\). **Плоскость \( CDD_1 \)**. Составим уравнение плоскости: Точки \( C(1, 1, 0) \), \( D(0, 1, 0) \), \( D_1(0, 1, 1) \). Направляющие векторы: - \(\overrightarrow{CD} = (-1, 0, 0)\) - \(\overrightarrow{CD_1} = (-1, 0, 1)\) Вектор нормали \(\vec{n} = \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{CD_1} = (0, 1, 0)\). Уравнение плоскости: \(y = 1\). Расстояние от точки \( A(0, 0, 0) \) до плоскости: \[ d = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = 1 \] ### б) Точка \( A \) до плоскости \( BCD_1 \) (рис. 26): Плоскость проходит через точки \( B(1, 0, 0) \), \( C(1, 1, 0) \), \( D_1(0, 1, 1) \). Направляющие векторы: - \(\overrightarrow{BC} = (0, 1, 0)\) - \(\overrightarrow{BD_1} = (-1, 1, 1)\) Вектор нормали \(\vec{n} = (1, 0, -1)\). Уравнение плоскости: \((x - z = 0)\). Расстояние от точки \( A(0, 0, 0) \) до плоскости: \[ d = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = 0 \] ### в) Точка \( A \) до плоскости \( ADD_1 \) (рис. 27): Точки \( A(0, 0, 0) \), \( D(0, 1, 0) \), \( D_1(0, 1, 1) \). Уравнение плоскости: \((x = 0)\). Расстояние от точки \( A(0, 0, 0) \) до плоскости: \[ d = \frac{|- 0|}{\sqrt{1}} = 0 \] ### г) Точка \( B \) до плоскости \( ACC_1 \) (рис. 28): Площадь через точки \( A(0, 0, 0) \), \( C(1, 1, 0) \), \( C_1(1, 1, 1) \). Находим нормаль: - \(\overrightarrow{AC} = (1, 1, 0)\) - \(\overrightarrow{AC_1} = (1, 1, 1)\) Вектор нормали \(\vec{n} = (1, -1, 0)\). Уравнение плоскости: \(x - y = 0\). Расстояние от точки \( B(1, 0, 0) \) до плоскости: \[ d = \frac{|1 \cdot 1 - 1 \cdot 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Таким образом, основные расстояния: а) 1, б) 0, в) 0, г) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).