Чтобы решить задачу, начнем с обозначения скорости велосипедиста из города А в город В как ( v ) км/ч.
Шаг 1: Время в пути из А в В
Расстояние между городами А и В составляет 198 км. Время, затраченное на путь из А в В, можно выразить следующим образом:
[
t_1 = \frac{198}{v}
]
где ( t_1 ) — время, затраченное на движение из А в В.
Шаг 2: Обратный путь из В в А
На обратном пути велосипедист увеличивает скорость на 4 км/ч, то есть его скорость теперь составляет ( v + 4 ) км/ч. Время в пути без учета остановки можно выразить как:
[
t_2 = \frac{198}{v + 4}
]
где ( t_2 ) — время, затраченное на движение из В в А.
Шаг 3: Учет остановки
Велосипедист сделал остановку на 2 часа, поэтому фактическое время, затраченное на обратный путь, составит:
[
t_2 + 2 = \frac{198}{v + 4} + 2
]
Шаг 4: Условие задачи
По условию задачи, затраченное время на обратный путь равно времени, потраченному на путь из А в В:
[
t_1 = t_2 + 2
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{198}{v} = \frac{198}{v + 4} + 2
]
Шаг 5: Решение уравнения
Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на ( v(v + 4) ) для избавления от дробей:
[
198(v + 4) = 198v + 2v(v + 4)
]
Раскроем скобки:
[
198v + 792 = 198v + 2v^2 + 8v
]
Сократим ( 198v ) с обеих сторон:
[
792 = 2v^2 + 8v
]
Теперь упростим уравнение:
[
2v^2 + 8v - 792 = 0
]
Разделим все коэффициенты на 2:
[
v^2 + 4v - 396 = 0
]
Шаг 6: Дискриминант
Теперь воспользуемся формулой дискриминанта для решения квадратного уравнения:
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-396) = 16 + 1584 = 1600
]
Шаг 7: Нахождение корней
Корни уравнения можно найти по формуле:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 40}{2}
]
Рассмотрим два случая:
- ( v = \frac{36}{2} = 18 )
- ( v = \frac{-44}{2} = -22 ) (не подходит, скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, скорость велосипедиста из А в В составляет ( 18 ) км/ч.
Ответ
Скорость велосипедиста из города А в город В равна ( 18 ) км/ч.
