2. Даны координаты вершин треугольника АВС: A (-6; 1), В (2; 4), С (2; -2). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите высоту треугольника, проведённую из вершины А.

Для того чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, и найти высоту, проведённую из вершины A, воспользуемся следующими шагами:

Шаг 1: Найти длины сторон треугольника

Сначала мы вычислим длины сторон треугольника ABC. Чтобы найти длину отрезка между двумя точками, используем формулу:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Где \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) — координаты соответствующих вершин треугольника.

Вычисление длины стороны AB:

• A(-6, 1)
• B(2, 4)

\[ AB = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]

Вычисление длины стороны AC:

• A(-6, 1)
• C(2, -2)

\[ AC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]

Вычисление длины стороны BC:

• B(2, 4)
• C(2, -2)

\[ BC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6 \]

Шаг 2: Сравнить длины сторон

У нас имеются следующие длины сторон треугольника:

• \( AB = \sqrt{73} \)
• \( AC = \sqrt{73} \)
• \( BC = 6 \)

Так как \( AB = AC = \sqrt{73} \), то треугольник ABC равнобедренный (два его стороны равны).

Шаг 3: Найти высоту из вершины A

Чтобы найти высоту, проведённую из вершины A перпендикулярно к основанию BC, можно воспользоваться формулой для площади треугольника. Ширина основания BC равна 6. Мы знаем, что площадь треугольника можно выразить как:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]

где \( a \) — длина основания (BC), а \( h \) — высота (из точки A). Также можно воспользоваться формулой для нахождения площади треугольника по координатам его вершин:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]

Подставим координаты:

\[ S = \frac{1}{2} \left| -6(4 - (-2)) + 2(-2 - 1) + 2(1 - 4) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -6(6) + 2(-3) + 2(-3) \right| = \frac{1}{2} \left| -36 - 6 - 6 \right| = \frac{1}{2} \left| -48 \right| = 24 \]

Теперь имея площадь, можем найти высоту \( h \):

\[ 24 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h \implies 24 = 3h \implies h = 8 \]

Ответ

1. Треугольник ABC равнобедренный.
2. Высота, проведённая из вершины A на основание BC, равна 8.