Для решения уравнения ((x + 2)⁴ + 4(x + 2)² = 5), давайте сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть (y = (x + 2)²).
Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
[
y² + 4y = 5
]
Теперь перенесем все в одну сторону:
[
y² + 4y - 5 = 0
]
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a}
]
где (a = 1), (b = 4) и (c = -5).
Подставим значения:
[
y = \frac{-4 \pm \sqrt{4² - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}
]
[
y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}
]
[
y = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}
]
[
y = \frac{-4 \pm 6}{2}
]
Теперь найдем два значения для (y):
- (y_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1)
- (y_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5)
Так как (y = (x + 2)²), мы получаем:
Для (y_1 = 1):
[
(x + 2)² = 1
]
Извлечем корень:
[
x + 2 = 1 \quad \text{или} \quad x + 2 = -1
]
Решая это, получаем:
[
x = 1 - 2 = -1 \quad \text{и} \quad x = -1 - 2 = -3
]
Для (y_2 = -5):
((x + 2)² = -5) — это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Теперь у нас есть два действительных корня:
- (x = -1)
- (x = -3)
Теперь находим сумму корней:
[
-1 + (-3) = -4
]
Итак, ответ:
Сумма корней уравнения равна (-4).
