Найдите сумму корней уравнения: (x + 2) ⁴+ 4(x + 2)² = 5

Для решения уравнения \((x + 2)⁴ + 4(x + 2)² = 5\), давайте сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть \(y = (x + 2)²\).

Тогда уравнение можно переписать следующим образом: \[ y² + 4y = 5 \]

Теперь перенесем все в одну сторону: \[ y² + 4y - 5 = 0 \]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = -5\).

Подставим значения: \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{4² - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \] \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ y = \frac{-4 \pm 6}{2} \]

Теперь найдем два значения для \(y\):

1. \(y_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
2. \(y_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)

Так как \(y = (x + 2)²\), мы получаем:

1. Для \(y_1 = 1\): \[ (x + 2)² = 1 \] Извлечем корень: \[ x + 2 = 1 \quad \text{или} \quad x + 2 = -1 \] Решая это, получаем: \[ x = 1 - 2 = -1 \quad \text{и} \quad x = -1 - 2 = -3 \]

2. Для \(y_2 = -5\): \((x + 2)² = -5\) — это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Теперь у нас есть два действительных корня:

1. \(x = -1\)
2. \(x = -3\)

Теперь находим сумму корней: \[ -1 + (-3) = -4 \]

Итак, ответ: Сумма корней уравнения равна \(-4\).