f(x) =x4+8x2+5 [-3;2]
Давайте разберем данную задачу пошагово и поймем, что можно сделать с функцией \( f(x) = x^4 + 8x^2 + 5 \) на отрезке \([-3; 2]\).
Шаг 1: Анализ функции
Функция, которую мы рассматриваем, это многочлен четной степени. Общий вид функции:
\[ f(x) = ax^4 + bx^2 + c \]
где \( a = 1 \), \( b = 8 \) и \( c = 5 \).
Шаг 2: Определение типа кривой
Поскольку старший коэффициент \( a > 0 \), эта функция будет иметь вид "U" (то есть иметь минимумы). Мы можем ожидать, что функция будет возрастать на крайних значениях интервала и уменьшаться между ними.
Шаг 3: Поиск производной
Чтобы найти критические точки функции, нужно вычислить её производную \( f'(x) \):
\[ f'(x) = 4x^3 + 16x \]
Шаг 4: Нахождение критических точек
Теперь приравняем производную к нулю:
\[ 4x^3 + 16x = 0 \]
Факторизуем:
\[ 4x(x^2 + 4) = 0 \]
Это уравнение имеет решение \( x = 0 \). \( x^2 + 4 = 0 \) не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицательный.
Шаг 5: Анализ второй производной
Чтобы убедиться, что это минимум, найдем вторую производную:
\[ f''(x) = 12x^2 + 16 \]
При подставке любого значения \( x \) видно, что \( f''(x) > 0 \), поэтому функция является выпуклой, что подтверждает наличие минимума в точке \( x = 0 \).
Шаг 6: Подсчет значений функции
Теперь найдем значения функции на границах отрезка, а также в критической точке:
При \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^4 + 8(-3)^2 + 5 = 81 + 72 + 5 = 158 \]
При \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 + 8(0)^2 + 5 = 5 \]
При \( x = 2 \): \[ f(2) = (2)^4 + 8(2)^2 + 5 = 16 + 32 + 5 = 53 \]
Шаг 7: Сравнение значений
Теперь мы сравним значения функции на отрезке \([-3; 2]\):
- \( f(-3) = 158 \)
- \( f(0) = 5 \) (минимум)
- \( f(2) = 53 \)
Шаг 8: Вывод
Из данного анализа видно, что:
- Минимальное значение функции на отрезке \([-3; 2]\) равно \( 5 \) при \( x = 0 \).
- Максимальное значение функции равно \( 158 \) при \( x = -3 \).
Так что ответ на задачу включает минимальное и максимальное значение функции на указанном интервале.
