В треугольнике мнк-угол н равен 78 внешний угол при вершине м равен 117°, найди градусную меру внешнего угла при вершине к.
Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства внутренних и внешних углов треугольника.
Давайте обозначим углы:
- Внутренний угол при вершине \( N \) равен \( n = 78^\circ \).
- Внешний угол при вершине \( M \) равен \( m = 117^\circ \).
Внешний угол треугольника (внешний угол при вершине) равен сумме двух внутренних углов, не прилежащих к данному внешнему углу. То есть:
\[ m = a + b \]
где \( a \) и \( b \) — это внутренние углы при вершинах \( N \) и \( K \) соответственно. Мы знаем угол \( N \):
\[ m = n + b \] \[ 117^\circ = 78^\circ + b \]
Теперь решим это уравнение для \( b \):
\[ b = 117^\circ - 78^\circ \] \[ b = 39^\circ \]
Теперь мы знаем два внутренних угла: \( n = 78^\circ \) (угол при вершине \( N \)) и \( b = 39^\circ \) (угол при вершине \( K \)). Чтобы найти угол при вершине \( K \), используем следующее свойство: сумма всех внутренних углов в треугольнике равна \( 180^\circ \):
\[ n + b + c = 180^\circ \]
где \( c \) — внутренний угол при вершине \( M \). Подставим известные значения:
\[ 78^\circ + 39^\circ + c = 180^\circ \] \[ 117^\circ + c = 180^\circ \] \[ c = 180^\circ - 117^\circ \] \[ c = 63^\circ \]
Теперь мы знаем все три внутренних угла треугольника:
- Угол \( N \) равен \( 78^\circ \),
- Угол \( K \) равен \( 39^\circ \),
- Угол \( M \) равен \( 63^\circ \).
Наконец, чтобы найти градусную меру внешнего угла при вершине \( K \), мы используем следующее правило: каждый внешний угол равен \( 180^\circ \) минус соответствующий внутренний угол:
\[ \text{Внешний угол при вершине } K = 180^\circ - 39^\circ = 141^\circ. \]
Таким образом, градусная мера внешнего угла при вершине \( K \) равна \( 141^\circ \).
