Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства внутренних и внешних углов треугольника.
Давайте обозначим углы:
- Внутренний угол при вершине ( N ) равен ( n = 78^\circ ).
- Внешний угол при вершине ( M ) равен ( m = 117^\circ ).
Внешний угол треугольника (внешний угол при вершине) равен сумме двух внутренних углов, не прилежащих к данному внешнему углу. То есть:
[
m = a + b
]
где ( a ) и ( b ) — это внутренние углы при вершинах ( N ) и ( K ) соответственно. Мы знаем угол ( N ):
[
m = n + b
]
[
117^\circ = 78^\circ + b
]
Теперь решим это уравнение для ( b ):
[
b = 117^\circ - 78^\circ
]
[
b = 39^\circ
]
Теперь мы знаем два внутренних угла: ( n = 78^\circ ) (угол при вершине ( N )) и ( b = 39^\circ ) (угол при вершине ( K )). Чтобы найти угол при вершине ( K ), используем следующее свойство: сумма всех внутренних углов в треугольнике равна ( 180^\circ ):
[
n + b + c = 180^\circ
]
где ( c ) — внутренний угол при вершине ( M ). Подставим известные значения:
[
78^\circ + 39^\circ + c = 180^\circ
]
[
117^\circ + c = 180^\circ
]
[
c = 180^\circ - 117^\circ
]
[
c = 63^\circ
]
Теперь мы знаем все три внутренних угла треугольника:
- Угол ( N ) равен ( 78^\circ ),
- Угол ( K ) равен ( 39^\circ ),
- Угол ( M ) равен ( 63^\circ ).
Наконец, чтобы найти градусную меру внешнего угла при вершине ( K ), мы используем следующее правило: каждый внешний угол равен ( 180^\circ ) минус соответствующий внутренний угол:
[
\text{Внешний угол при вершине } K = 180^\circ - 39^\circ = 141^\circ.
]
Таким образом, градусная мера внешнего угла при вершине ( K ) равна ( 141^\circ ).
