Шесть школьников случайным образом рассаживаются на шесть свободных мест. С какой вероятностью Женя и Таня будут сидеть рядом, если эти шесть мест расположены: а) за круглым…

Для решения задачи о вероятности того, что Женя и Таня будут сидеть рядом, рассмотрим оба случая: сначала за круглым столом, затем на скамейке.

а) За круглым столом

1. Общее количество перестановок: В случае кругового расположения, один из школьников можно фиксировать (например, Женю), чтобы избежать учета вращений. Остальные 5 школьников могут садиться на оставшиеся 5 мест. Это дает нам: \[ 5! = 120 \text{ способов} \]

2. Количество благоприятных случаев: Теперь посчитаем, в скольких случаях Женя и Таня будут сидеть рядом. Мы можем рассматривать Женю и Тани как одну "единицу" (или "блок"), т.е. считаем их как одного человека. В этом случае у нас остаются 5 "людей": Женя и Таня как блок и 4 других школьника. Эти 5 "людей" можно расставить вокруг стола следующим образом: \[ 4! = 24 \text{ способа} \] Внутри блока Женя и Таня могут поменяться местами, что добавляет еще 2 способа. Таким образом, общее количество благоприятных случаев: \[ 4! \times 2 = 24 \times 2 = 48 \text{ способов} \]

3. Вероятность: Следовательно, вероятность того, что Женя и Таня будут сидеть рядом, будет равна: \[ P = \frac{\text{число благоприятных случаев}}{\text{общее количество перестановок}} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5} \]

б) На скамейке

1. Общее количество перестановок: В этом случае все 6 школьников могут занимать места в последовательности, что дает: \[ 6! = 720 \text{ способов} \]

2. Количество благоприятных случаев: Аналогично, считаем Женю и Таню как блок. В этом случае у нас также 5 "людей": блок с Женей и Таней и 4 других школьников. Расположить их можно так: \[ 5! = 120 \text{ способов} \] Внутри блока они могут менять местами, т.е. 2 способа. Тогда общее количество благоприятных случаев: \[ 5! \times 2 = 120 \times 2 = 240 \text{ способов} \]

3. Вероятность: Таким образом, вероятность того, что Женя и Таня будут сидеть рядом на скамейке: \[ P = \frac{240}{720} = \frac{1}{3} \]

Итог

• Вероятность того, что Женя и Таня будут сидеть рядом за круглым столом: \(\frac{2}{5}\).
• Вероятность того, что Женя и Таня будут сидеть рядом на скамейке: \(\frac{1}{3}\).