1. cos x/3 = √3/2 2. 2sin2x-1=0 3. tg x/3 -√3 =0 4. 3ctg x/(4 ) +√3 =0 5. sin (π/2 – α)=0

Давайте решим каждое из данных уравнений шаг за шагом.

1. \( \cos \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Шаг 1: Вспомним, что \( \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) для углов \( \theta \) равных \( \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) и \( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \), где \( k \) – целое число.

Шаг 2: Установим уравнение: \[ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \]

Шаг 3: Умножим обе части на 3: \[ x = \frac{\pi}{2} + 6k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{2} + 6k\pi \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 6k\pi \) или \( x = -\frac{\pi}{2} + 6k\pi \)

2. \( 2\sin 2x - 1 = 0 \)

Шаг 1: Переносим \( 1 \) в правую часть: \[ 2\sin 2x = 1 \]

Шаг 2: Делим обе стороны на 2: \[ \sin 2x = \frac{1}{2} \]

Шаг 3: Вспомнив, что \( \sin \theta = \frac{1}{2} \) для углов \( \theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) и \( \theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \): \[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]

Шаг 4: Делим на 2: \[ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{12} + k\pi \) или \( x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \)

3. \( \tan \frac{x}{3} - \sqrt{3} = 0 \)

Шаг 1: Переносим \( \sqrt{3} \) в правую часть: \[ \tan \frac{x}{3} = \sqrt{3} \]

Шаг 2: Знаем, что \( \tan \theta = \sqrt{3} \) для углов \( \theta = \frac{\pi}{3} + k\pi \): \[ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \]

Шаг 3: Умножаем обе стороны на 3: \[ x = \pi + 3k\pi \]

Ответ: \( x = \pi (1 + 3k) \)

4. \( \frac{3}{\cot \frac{x}{4}} + \sqrt{3} = 0 \)

Шаг 1: Переносим \( \sqrt{3} \) в правую часть: \[ \frac{3}{\cot \frac{x}{4}} = -\sqrt{3} \]

Шаг 2: Умножаем обе стороны на \( \cot \frac{x}{4} \): \[ 3 = -\sqrt{3} \cot \frac{x}{4} \]

Шаг 3: Переписываем: \[ \cot \frac{x}{4} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \]

Шаг 4: Знаем, что \( \cot \theta = -\sqrt{3} \) для углов \( \theta = \frac{5\pi}{6} + k\pi \): \[ \frac{x}{4} = \frac{5\pi}{6} + k\pi \]

Шаг 5: Умножаем на 4: \[ x = \frac{10\pi}{3} + 4k\pi \]

Ответ: \( x = \frac{10\pi}{3} + 4k\pi \)

5. \( \sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = 0 \)

Шаг 1: Из свойства синуса: \[ \sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha \]

Шаг 2: Решаем уравнение: \[ \cos \alpha = 0 \]

Шаг 3: Знаем, что \( \cos \theta = 0 \) для углов \( \theta = \frac{\pi}{2} + k\pi \): \[ \alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi \]

Ответ: \( \alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi \)

Если что-то неясно или нужны дополнительные объяснения, не стесняйтесь спрашивать!