Вычислите

Изобразим интеграл, который нам нужно вычислить:

\[ \int \left( x^3 + 2x \right) dx \]

Чтобы решить этот интеграл, мы будем применять правило интегрирования каждого слагаемого по отдельности.

Шаг 1: Интегрирование \(x^3\)

Используем правило степени для интегрирования:

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

где \(C\) — константа интегрирования.

Для \(x^3\): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \]

Шаг 2: Интегрирование \(2x\)

Разделим константу и переменную:

\[ \int 2x \, dx = 2 \int x \, dx \]

Теперь применяем правило степени к \(x^1\):

\[ \int x \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \]

Подставляем обратно:

\[ 2 \int x \, dx = 2 \times \frac{x^2}{2} = x^2 \]

Шаг 3: Собираем результаты

Объединяем результаты интегрирования каждого слагаемого:

\[ \int (x^3 + 2x) \, dx = \frac{x^4}{4} + x^2 + C \]

Таким образом, решение интеграла:

\[ \boxed{\frac{x^4}{4} + x^2 + C} \]

Где \(C\) — произвольная константа интегрирования.