Изобразим интеграл, который нам нужно вычислить:
[ \int \left( x^3 + 2x \right) dx ]
Чтобы решить этот интеграл, мы будем применять правило интегрирования каждого слагаемого по отдельности.
Шаг 1: Интегрирование (x^3)
Используем правило степени для интегрирования:
[
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
]
где (C) — константа интегрирования.
Для (x^3):
[
\int x^3 , dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}
]
Шаг 2: Интегрирование (2x)
Разделим константу и переменную:
[
\int 2x , dx = 2 \int x , dx
]
Теперь применяем правило степени к (x^1):
[
\int x , dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}
]
Подставляем обратно:
[
2 \int x , dx = 2 \times \frac{x^2}{2} = x^2
]
Шаг 3: Собираем результаты
Объединяем результаты интегрирования каждого слагаемого:
[
\int (x^3 + 2x) , dx = \frac{x^4}{4} + x^2 + C
]
Таким образом, решение интеграла:
[
\boxed{\frac{x^4}{4} + x^2 + C}
]
Где (C) — произвольная константа интегрирования.
