Докажите торжество (6х-8y+ 7)×(6x+ 8y- 7)+ (8y-7)²= 36x²

Чтобы доказать равенство \((6x - 8y + 7)(6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2\), давайте поэтапно разберем каждую часть. ### Шаг 1: Раскроем скобки в первом произведении Начнем с первого множителя: \((6x - 8y + 7)(6x + 8y - 7)\). Используем распределительное свойство: \[ = 6x(6x + 8y - 7) - 8y(6x + 8y - 7) + 7(6x + 8y - 7) \] Теперь раскроем каждую часть: 1. \(6x(6x) = 36x^2\) 2. \(6x(8y) = 48xy\) 3. \(6x(-7) = -42x\) 4. \(-8y(6x) = -48xy\) 5. \(-8y(8y) = -64y^2\) 6. \(-8y(-7) = 56y\) 7. \(7(6x) = 42x\) 8. \(7(8y) = 56y\) 9. \(7(-7) = -49\) Теперь сложим все части: \[ = 36x^2 + 48xy - 42x - 48xy - 64y^2 + 56y + 42x + 56y - 49 \] Заметим, что \(48xy\) и \(-48xy\) взаимно уничтожаются: \[ = 36x^2 - 64y^2 + (56y + 56y) + (-42x + 42x) - 49 \] Таким образом, упрощаем и получаем: \[ = 36x^2 - 64y^2 + 112y - 49 \] ### Шаг 2: Дополнительно рассмотрим вторую часть Теперь перейдем ко второй части уравнения: \((8y - 7)^2\). Это можно представить как: \[ = (8y)^2 - 2 \cdot 8y \cdot 7 + 7^2 = 64y^2 - 112y + 49 \] ### Шаг 3: Сложим обе части Теперь сложим результаты из первого и второго шага: \[ = (36x^2 - 64y^2 + 112y - 49) + (64y^2 - 112y + 49) \] Объединим подобные члены: 1. \(36x^2\) — остается без изменений. 2. \(-64y^2 + 64y^2 = 0\) — взаимно уничтожается. 3. \(112y - 112y = 0\) — взаимно уничтожается. 4. \(-49 + 49 = 0\) — взаимно уничтожается. Итак, у нас остается: \[ = 36x^2 \] ### Шаг 4: Заключение Таким образом, мы доказали равенство: \[ (6x - 8y + 7)(6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2 \] Равенство верно, и мы завершили доказательство!