докажите торжество (6х-8y+ 7)×(6x+ 8y- 7)+ (8y-7)²= 36x²

Чтобы доказать равенство \((6x - 8y + 7)(6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2\), давайте поэтапно разберем каждую часть.

Шаг 1: Раскроем скобки в первом произведении

Начнем с первого множителя:
\((6x - 8y + 7)(6x + 8y - 7)\).

Используем распределительное свойство:

\[ = 6x(6x + 8y - 7) - 8y(6x + 8y - 7) + 7(6x + 8y - 7) \]

Теперь раскроем каждую часть:

1. \(6x(6x) = 36x^2\)
2. \(6x(8y) = 48xy\)
3. \(6x(-7) = -42x\)
4. \(-8y(6x) = -48xy\)
5. \(-8y(8y) = -64y^2\)
6. \(-8y(-7) = 56y\)
7. \(7(6x) = 42x\)
8. \(7(8y) = 56y\)
9. \(7(-7) = -49\)

Теперь сложим все части:

\[ = 36x^2 + 48xy - 42x - 48xy - 64y^2 + 56y + 42x + 56y - 49 \]

Заметим, что \(48xy\) и \(-48xy\) взаимно уничтожаются:

\[ = 36x^2 - 64y^2 + (56y + 56y) + (-42x + 42x) - 49 \]

Таким образом, упрощаем и получаем:

\[ = 36x^2 - 64y^2 + 112y - 49 \]

Шаг 2: Дополнительно рассмотрим вторую часть

Теперь перейдем ко второй части уравнения: \((8y - 7)^2\).

Это можно представить как:

\[ = (8y)^2 - 2 \cdot 8y \cdot 7 + 7^2 = 64y^2 - 112y + 49 \]

Шаг 3: Сложим обе части

Теперь сложим результаты из первого и второго шага:

\[ = (36x^2 - 64y^2 + 112y - 49) + (64y^2 - 112y + 49) \]

Объединим подобные члены:

1. \(36x^2\) — остается без изменений.
2. \(-64y^2 + 64y^2 = 0\) — взаимно уничтожается.
3. \(112y - 112y = 0\) — взаимно уничтожается.
4. \(-49 + 49 = 0\) — взаимно уничтожается.

Итак, у нас остается:

\[ = 36x^2 \]

Шаг 4: Заключение

Таким образом, мы доказали равенство:

\[ (6x - 8y + 7)(6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2 \]

Равенство верно, и мы завершили доказательство!