В треугольнике авс угол c=90 градусам, АС=24 tgA=3 10 в корне /4, найти АВ

Для решения задачи мы будем использовать теоремы и свойства прямоугольного треугольника.

1. В треугольнике ABC угол C равен 90 градусам, поэтому треугольник является прямоугольным.

2. Дана информация:

   • Сторона AC (которая противоположна углу B) равна 24.
   • Тангенс угла A (tg A) равен \( \frac{3 \sqrt{10}}{4} \).

3. По определению тангенса мы знаем: \[ \tan A = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}} = \frac{BC}{AC} \] Подставим известные значения: \[ \frac{BC}{AC} = \frac{3 \sqrt{10}}{4} \] Так как AC = 24, подставим эту сторну в формулу: \[ \frac{BC}{24} = \frac{3 \sqrt{10}}{4} \]

4. Умножим обе стороны уравнения на 24: \[ BC = 24 \cdot \frac{3 \sqrt{10}}{4} \] Упростим выражение: \[ BC = 18 \sqrt{10} \]

5. Теперь мы знаем длины двух сторон треугольника: AC = 24 и BC = 18√10. Нам нужно найти длину стороны AB (гипотенузы). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

6. Подставим значения: \[ AB^2 = 24^2 + (18\sqrt{10})^2 \]

7. Рассчитаем каждую часть:

   • \( 24^2 = 576 \)
   • \( (18\sqrt{10})^2 = 324 \cdot 10 = 3240 \)

8. Теперь складываем: \[ AB^2 = 576 + 3240 = 3816 \]

9. Найдем AB, взяв квадратный корень: \[ AB = \sqrt{3816} \]

10. Упростим \( \sqrt{3816} \): Разложим 3816 на простые множители: \[ 3816 = 2^3 \times 3 \times 7 \times 11 \] Этот корень можно упростить: \[ \sqrt{3816} = 2^{3/2} \times 3^{1/2} \times 7^{1/2} \times 11^{1/2} = 6 \sqrt{106} \] Таким образом: \[ AB \approx 61.5 \quad (\text{если использовать численный подход}) \]

Следовательно, длина стороны AB (гипотенузы) равна \( 6 \sqrt{106} \) или приблизительно 61.5.