1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а плоский угол при вершине 90° . Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды и ее объем.

Чтобы найти площадь боковой поверхности и объем правильной треугольной пирамиды с данными параметрами, давайте действовать шаг за шагом. ### Шаг 1: Определим параметры пирамиды У нас есть правильная треугольная пирамида, что значит, что основанием является равносторонний треугольник. Апофема (обозначим её \( a \)) равна 6 см, а плоский угол при вершине равен 90°. 1. **Апофема** \( a = 6 \) см. 2. **Плоский угол при вершине** \( V = 90^\circ \). ### Шаг 2: Найдем высоту боковой стороны В правильной треугольной пирамиде апофема также является гипотенузой треугольника, образованного высотой боковой стороны (обозначим её \( h \)) и половиной основания. Так как угол при вершине равен 90°, мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту: 1. **Половина стороны основания треугольника** \( \frac{a_{осн}}{2} \) (это половина стороны основания) связана с апофемой и высотой. Мы можем использовать следующую формулу: \[ \tan(\frac{V}{2}) = \frac{h}{\frac{a_{осн}}{2}} \] При \( V = 90^\circ \): \[ \tan(45^\circ) = 1 \] значит, \[ h = \frac{a_{осн}}{2} \] 2. Выразим длину стороны основания \( a_{осн} \) через апофему, зная, что у нас равносторонний треугольник.Из прямоугольной треугольной системы можем написать: \[ h^2 + \left(\frac{a_{осн}}{2}\right)^2 = a^2 \] Зная, что \( h = \frac{a_{осн}}{2} \), подставим и решим: \[ \left(\frac{a_{осн}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a_{осн}}{2}\right)^2 = 6^2 \] \[ 2 \cdot \left(\frac{a_{осн}}{2}\right)^2 = 36 \] \[ \left(\frac{a_{осн}}{2}\right)^2 = 18 \rightarrow \frac{a_{осн}}{2} = 3\sqrt{2} \] \[ a_{осн} = 6\sqrt{2} \] ### Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды \( S_{б} \) рассчитывается по формуле: \[ S_{б} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_{бок} \] где - \( P_{осн} \) — периметр основания, - \( h_{бок} \) — высота боковой стороны, равная апофеме \( a \), т.е. 6 см. 1. Периметр основания, состоящего из 3 сторон (равносторонний треугольник): \[ P_{осн} = 3 \cdot a_{осн} = 3 \cdot (6\sqrt{2}) = 18\sqrt{2} \] 2. Подставляем в формулу: \[ S_{б} = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} \cdot 6 = 54\sqrt{2} \, \text{см}^2 \] ### Шаг 4: Находим объем пирамиды Объем правильной треугольной пирамиды \( V \) можно найти по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \] где \( S_{осн} \) — площадь основания. Площадь основания (равностороннего треугольника) рассчитывается по формуле: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a_{осн}^2 \] 1. Подставляем значение \( a_{осн} \): \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (6\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 72 = 18\sqrt{3} \, \text{см}^2 \] 2. Высота пирамиды \( h \) при данном угле равна \( h = 6 \sqrt{2} \). Теперь можем найти объем: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 6 = 36\sqrt{3} \, \text{см}^3 \] ### Итог Теперь у нас есть результаты: - **Площадь боковой поверхности:** \( 54\sqrt{2} \, \text{см}^2 \) - **Объем пирамиды:** \( 36\sqrt{3} \, \text{см}^3 \) Если у вас будут дополнительные вопросы по этой задаче или по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!