1. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а плоский угол при вершине 90° . Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды и ее объем.
Чтобы найти площадь боковой поверхности и объем правильной треугольной пирамиды с данными параметрами, давайте действовать шаг за шагом.
Шаг 1: Определим параметры пирамиды
У нас есть правильная треугольная пирамида, что значит, что основанием является равносторонний треугольник. Апофема (обозначим её \( a \)) равна 6 см, а плоский угол при вершине равен 90°.
- Апофема \( a = 6 \) см.
- Плоский угол при вершине \( V = 90^\circ \).
Шаг 2: Найдем высоту боковой стороны
В правильной треугольной пирамиде апофема также является гипотенузой треугольника, образованного высотой боковой стороны (обозначим её \( h \)) и половиной основания.
Так как угол при вершине равен 90°, мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту:
Половина стороны основания треугольника \( \frac{a_{осн}}{2} \) (это половина стороны основания) связана с апофемой и высотой. Мы можем использовать следующую формулу:
\[ \tan(\frac{V}{2}) = \frac{h}{\frac{a_{осн}}{2}} \]
При \( V = 90^\circ \): \[ \tan(45^\circ) = 1 \] значит, \[ h = \frac{a_{осн}}{2} \]
Выразим длину стороны основания \( a_{осн} \) через апофему, зная, что у нас равносторонний треугольник.Из прямоугольной треугольной системы можем написать:
\[ h^2 + \left(\frac{a_{осн}}{2}\right)^2 = a^2 \]
Зная, что \( h = \frac{a_{осн}}{2} \), подставим и решим:
\[ \left(\frac{a_{осн}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a_{осн}}{2}\right)^2 = 6^2 \] \[ 2 \cdot \left(\frac{a_{осн}}{2}\right)^2 = 36 \] \[ \left(\frac{a_{осн}}{2}\right)^2 = 18 \rightarrow \frac{a_{осн}}{2} = 3\sqrt{2} \] \[ a_{осн} = 6\sqrt{2} \]
Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды \( S_{б} \) рассчитывается по формуле:
\[ S_{б} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_{бок} \]
где
- \( P_{осн} \) — периметр основания,
- \( h_{бок} \) — высота боковой стороны, равная апофеме \( a \), т.е. 6 см.
- Периметр основания, состоящего из 3 сторон (равносторонний треугольник):
\[ P_{осн} = 3 \cdot a_{осн} = 3 \cdot (6\sqrt{2}) = 18\sqrt{2} \]
- Подставляем в формулу:
\[ S_{б} = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} \cdot 6 = 54\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]
Шаг 4: Находим объем пирамиды
Объем правильной треугольной пирамиды \( V \) можно найти по формуле:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \]
где \( S_{осн} \) — площадь основания. Площадь основания (равностороннего треугольника) рассчитывается по формуле:
\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a_{осн}^2 \]
- Подставляем значение \( a_{осн} \):
\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (6\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 72 = 18\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
- Высота пирамиды \( h \) при данном угле равна \( h = 6 \sqrt{2} \).
Теперь можем найти объем:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 6 = 36\sqrt{3} \, \text{см}^3 \]
Итог
Теперь у нас есть результаты:
- Площадь боковой поверхности: \( 54\sqrt{2} \, \text{см}^2 \)
- Объем пирамиды: \( 36\sqrt{3} \, \text{см}^3 \)
Если у вас будут дополнительные вопросы по этой задаче или по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
