Для того чтобы решить систему уравнений:
[
\begin{cases}
x - 2y = 1 \
3x + 4y = 23
\end{cases}
]
мы используем метод подстановки или метод исключения. Здесь я покажу решение с помощью метода подстановки.
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Начнем с первого уравнения:
[
x - 2y = 1
]
Выразим (x) через (y):
[
x = 2y + 1
]
Шаг 2: Подставим выражение для (x) во второе уравнение
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[
3(2y + 1) + 4y = 23
]
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим уравнение
Раскроем скобки:
[
6y + 3 + 4y = 23
]
Теперь объединим подобные члены:
[
10y + 3 = 23
]
Шаг 4: Изолируем (y)
Переносим 3 в другую сторону:
[
10y = 23 - 3
]
[
10y = 20
]
Делим обе стороны на 10:
[
y = 2
]
Шаг 5: Найдем (x) используя найденное значение (y)
Теперь, когда мы знаем, что (y = 2), подставим это значение в выражение для (x):
[
x = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5
]
Ответ
Таким образом, решение системы уравнений:
[
\begin{cases}
x = 5 \
y = 2
\end{cases}
]
Проверка
Чтобы убедиться, что мы правильно решили систему, подставим найденные значения (x) и (y) обратно в оба уравнения:
- В первое уравнение:
[
5 - 2(2) = 5 - 4 = 1 \quad \text{(верно)}
]
- Во второе уравнение:
[
3(5) + 4(2) = 15 + 8 = 23 \quad \text{(верно)}
]
Оба уравнения выполняются, следовательно, наше решение верно.
Результат: (x = 5), (y = 2).
