задумали двузначное число которое делится на 15 когда к этому числу приписали справа его последнюю цифру Получилось трёхзначное число которое при делении на девять даёт остаток…

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем её на несколько шагов.

1. Обозначим двузначное число. Пусть это число обозначается как \( xy \), где \( x \) — десятки, а \( y \) — единицы. В числовом виде это число можно записать как \( 10x + y \).

2. Проверяем условия задачи. По условию, когда к числу приписывают справа последнюю цифру \( y \), получается трёхзначное число \( xyy \). В числовом виде это число можно записать как: \[ 100x + 10y + y = 100x + 11y \]

3. Первое условие. Это трёхзначное число должно делиться на 15. Для деления на 15, число должно делиться как на 3, так и на 5:

   • Условие делимости на 5: Последняя цифра трёхзначного числа \( y \) должна быть 0 или 5.
   • Условие делимости на 3: Сумма его цифр \( (x + y + y) = x + 2y \) должна делиться на 3.

4. Второе условие. При делении этого трёхзначного числа \( 100x + 11y \) на 9 должен получиться остаток 6: \[ (100x + 11y) \mod 9 = 6 \] Для этого упростим \( 100 \mod 9 = 1 \) и \( 11 \mod 9 = 2 \). Получаем: \[ (1x + 2y) \mod 9 = 6 \quad \text{или} \quad x + 2y \equiv 6 \mod 9 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. Для делимости на 3: \( x + 2y \equiv 0 \mod 3 \)

2. Для делимости на 9: \( x + 2y \equiv 6 \mod 9 \)

3. Решим уравнения. Рассмотрим возможные значения \( y \) (0, 5) и посмотрим, подходит ли \( x \) под условия.

• Сначала попробуем y = 0:

  • Если \( y = 0 \): \[ x + 2(0) = x \equiv 0 \mod 3 \quad \text{и} \quad x \equiv 6 \mod 9 \] Подходящие \( x \): 0, 3, 6, 9. Но так как \( xy \) - двузначное число, \( x \) должно быть от 1 до 9.
    • Получаем \( x = 3, 6, 9 \) (всё подходит).

• Теперь попробуем y = 5:

  • Если \( y = 5 \): \[ x + 2(5) = x + 10 \equiv 0 \mod 3 \quad \text{и} \quad x + 10 \equiv 6 \mod 9 \] Из второго уравнения: \[ x + 10 = 6 + 9k \quad (k \text{ — любое целое число}) \] Наиболее подходящее значение \( k = 0\) даёт \( x = -4\), что недопустимо.

    Если взять \( k = 1 \): \[ x + 10 = 15 \implies x = 5 \]

    Затем проверяем \( 5 + 10 \equiv 15 \equiv 0 \mod 3 \) - подходит.

Итак, мы имеем следующие кандидаты для двузначного числа:

• \( xy = 30, 60, 90, 55 \) по условию:

1. 30: \( 300 \div 15 = 20 \), остаток 6.
2. 60: \( 600 \div 15 = 40\), остаток 6.
3. 90: \( 900 \div 15 = 60\), остаток 6.
4. 55 не подходит по критериям.

Ответ. Заданное двузначное число - это 60.