10. Вычислите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел, представив их в каноническом виде: б) a = 1 960 и b = 588. a) a = 2 849 и b = 5 880; Ответ: а) 2 393 160,…

Для того чтобы решить задачи, давайте начнем по порядку. Сначала рассмотрим задачу о вычислении наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) для указанных чисел.

Задача 10

а) a = 2849 и b = 588

Шаг 1: Найдем наибольший общий делитель (НОД).

Для нахождения НОД воспользуемся методом разложения на простые множители.

1. Разложим 2849:

   • 2849 делится на 7 (2849 ÷ 7 = 407).
   • 407 = 11 × 37.
   • При этом 2849 = 7 × 11 × 37.

2. Разложим 588:

   • 588 делится на 2 (588 ÷ 2 = 294).
   • 294 делится на 2 (294 ÷ 2 = 147).
   • 147 делится на 3 (147 ÷ 3 = 49).
   • 49 = 7 × 7.
   • При этом 588 = 2^2 × 3 × 7^2.

3. Запишем разложения:

   • 2849 = \(7^1 × 11^1 × 37^1\)
   • 588 = \(2^2 × 3^1 × 7^2\)

4. Теперь находим НОД:

   • Берем минимальные степени общих простых множителей:
   • НОД(2849, 588) = \(7^1\) = 7.

Шаг 2: Найдем наименьшее общее кратное (НОК).

Для нахождения НОК воспользуемся формулой: \[ НОК(a, b) = \frac{a \times b}{НОД(a, b)} \]

Подставим значения: \[ НОК(2849, 588) = \frac{2849 \times 588}{7} = 2 393 160. \]

Ответ для части а:

НОД = 7, НОК = 2 393 160.

б) a = 1960 и b = 588

Шаг 1: Найдем НОД.

1. Разложим 1960:

   • 1960 делится на 2 (1960 ÷ 2 = 980).
   • 980 делится на 2 (980 ÷ 2 = 490).
   • 490 делится на 2 (490 ÷ 2 = 245).
   • 245 делится на 5 (245 ÷ 5 = 49).
   • 49 = 7 × 7.
   • Таким образом, 1960 = \(2^3 × 5^1 × 7^2\).

2. Разложим 588 (как уже делали выше):

   • 588 = \(2^2 × 3^1 × 7^2\).

3. Теперь находим НОД:

   • Берем минимальные степени общих простых множителей:
   • НОД(1960, 588) = \(2^2 × 7^2\) = 4 × 49 = 196.

Шаг 2: Найдем НОК.

\[ НОК(1960, 588) = \frac{1960 \times 588}{196} = 5880. \]

Ответ для части б:

НОД = 196, НОК = 5880.

Задача 12

63 листа бумаги и 35 листов картона. Какое наибольшее число комплектов можно сделать?

Для того чтобы все комплекты были одинаковыми, мы можем использовать тот же НОД.

Находим НОД(63, 35):

1. Разложим 63:

   • 63 = 3 × 21 = 3 × 3 × 7 = \(3^2 × 7^1\).

2. Разложим 35:

   • 35 = 5 × 7.

3. Теперь находим НОД:

   • НОД(63, 35) = \(7^1\) = 7.

Ответ:

Наибольшее число комплектов, которые можно сделать из этих листов, равно 7.

Таким образом, окончательные ответы на задачи:

• а) НОД: 7, НОК: 2 393 160
• б) НОД: 196, НОК: 5880
• Задача 12: Максимальное количество комплектов: 7.