Задумали трехзначное число, все цифры которого различны и вторая цифра которого четная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили…

Чтобы решить задачу, начнем с обозначения трехзначного числа, удовлетворяющего условиям. Пусть это число будет записано в формате \( \overline{abc} \), где \( a, b, c \) — его цифры.

Условия:

1. \( a, b, c \) — разные цифры.
2. \( b \) — четная цифра, поэтому \( b \in \{0, 2, 4, 6, 8\} \).
3. Запишем число в обратном порядке как \( \overline{cba} \).

Выражение для вычитания:

По условию задачи, вычитаем число \( \overline{cba} \) из числа \( \overline{abc} \):

\[ \overline{abc} - \overline{cba} = 693 \]

Запишем \( \overline{abc} \) и \( \overline{cba} \) в виде:

\[ \overline{abc} = 100a + 10b + c \] \[ \overline{cba} = 100c + 10b + a \]

Подставим в уравнение:

\[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 693 \]

Упрощение уравнения:

Упрощаем уравнение:

\[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 693 \] \[ (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 693 \] \[ 99a - 99c = 693 \]

Деление на 99:

Теперь можем сократить уравнение:

\[ a - c = \frac{693}{99} = 7 \]

Итак, у нас:

\[ a = c + 7 \]

Возможные значения для \( a \) и \( c \):

Поскольку \( a \) и \( c \) — это цифры от 0 до 9, \( c \) может принимать следующие значения:

• Если \( c = 0 \), тогда \( a = 7\). (Число 70X)
• Если \( c = 1 \), тогда \( a = 8\). (Число 81X)
• Если \( c = 2 \), тогда \( a = 9\). (Число 92X)

Следовательно, для различных \( c \) получаем следующие пары \( (a, c) \):

1. \( (7, 0) \)
2. \( (8, 1) \)
3. \( (9, 2) \)

Теперь выберем четные цифры для \( b \), которые отличны от \( a \) и \( c \).

Подбор значений для \( b \):

1. Для \( (7, 0) \): \( b \) может быть \( 2, 4, 6, 8 \)

   • Ни одно из них не равно \( 7 \) и \( 0 \).
   • Возможные числа: 720, 740, 760, 780.

2. Для \( (8, 1) \): \( b \) может быть \( 0, 2, 4, 6 \)

   • Возможные числа: 810, 820, 840, 860.

3. Для \( (9, 2) \): \( b \) может быть \( 0, 4, 6, 8 \)

   • Возможные числа: 902, 904, 906, 908.

Теперь запишем разность для каждого числа, чтобы найти удовлетворяющие уравнению.

Подсчеты разностей:

1. \( 720 \): \[ 720 - 027 = 693 \]

2. \( 740 \): \[ 740 - 047 = 693 \]

3. \( 760 \): \[ 760 - 067 = 693 \]

4. \( 780 \): \[ 780 - 087 = 693 \]

5. \( 810 \): \[ 810 - 018 = 792 \]

6. \( 820 \): \[ 820 - 028 = 792 \]

7. \( 840 \): \[ 840 - 048 = 792 \]

8. \( 860 \): \[ 860 - 068 = 792 \]

9. \( 902 \): \[ 902 - 209 = 693 \]

10. \( 904 \): \[ 904 - 409 = 495 \]

11. \( 906 \): \[ 906 - 609 = 297 \]

12. \( 908 \): \[ 908 - 809 = 099 \]

Результаты:

Таким образом, подходящие трехзначные числа, которые соблюдают условия, это \( 720 \) и \( 902 \) с разностью \( 693 \). Теперь найдем сумму двух наибольших:

\[ 720 + 902 = 1622 \]

Ответ:

Сумма двух наибольших чисел, удовлетворяющих условиям задачи, равна \( 1622 \).