Задумали трехзначное число, все цифры которого различны и вторая цифра которого четная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 693. Найдите сумму двух наибольших чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Чтобы решить задачу, начнем с обозначения трехзначного числа, удовлетворяющего условиям. Пусть это число будет записано в формате \( \overline{abc} \), где \( a, b, c \) — его цифры. ### Условия: 1. \( a, b, c \) — разные цифры. 2. \( b \) — четная цифра, поэтому \( b \in \{0, 2, 4, 6, 8\} \). 3. Запишем число в обратном порядке как \( \overline{cba} \). ### Выражение для вычитания: По условию задачи, вычитаем число \( \overline{cba} \) из числа \( \overline{abc} \): \[ \overline{abc} - \overline{cba} = 693 \] Запишем \( \overline{abc} \) и \( \overline{cba} \) в виде: \[ \overline{abc} = 100a + 10b + c \] \[ \overline{cba} = 100c + 10b + a \] Подставим в уравнение: \[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 693 \] ### Упрощение уравнения: Упрощаем уравнение: \[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 693 \] \[ (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c) = 693 \] \[ 99a - 99c = 693 \] ### Деление на 99: Теперь можем сократить уравнение: \[ a - c = \frac{693}{99} = 7 \] ### Итак, у нас: \[ a = c + 7 \] ### Возможные значения для \( a \) и \( c \): Поскольку \( a \) и \( c \) — это цифры от 0 до 9, \( c \) может принимать следующие значения: - Если \( c = 0 \), тогда \( a = 7\). (Число 70X) - Если \( c = 1 \), тогда \( a = 8\). (Число 81X) - Если \( c = 2 \), тогда \( a = 9\). (Число 92X) Следовательно, для различных \( c \) получаем следующие пары \( (a, c) \): 1. \( (7, 0) \) 2. \( (8, 1) \) 3. \( (9, 2) \) Теперь выберем четные цифры для \( b \), которые отличны от \( a \) и \( c \). ### Подбор значений для \( b \): 1. **Для \( (7, 0) \)**: \( b \) может быть \( 2, 4, 6, 8 \) - Ни одно из них не равно \( 7 \) и \( 0 \). - Возможные числа: 720, 740, 760, 780. 2. **Для \( (8, 1) \)**: \( b \) может быть \( 0, 2, 4, 6 \) - Возможные числа: 810, 820, 840, 860. 3. **Для \( (9, 2) \)**: \( b \) может быть \( 0, 4, 6, 8 \) - Возможные числа: 902, 904, 906, 908. Теперь запишем разность для каждого числа, чтобы найти удовлетворяющие уравнению. ### Подсчеты разностей: 1. **\( 720 \)**: \[ 720 - 027 = 693 \] 2. **\( 740 \)**: \[ 740 - 047 = 693 \] 3. **\( 760 \)**: \[ 760 - 067 = 693 \] 4. **\( 780 \)**: \[ 780 - 087 = 693 \] 5. **\( 810 \)**: \[ 810 - 018 = 792 \] 6. **\( 820 \)**: \[ 820 - 028 = 792 \] 7. **\( 840 \)**: \[ 840 - 048 = 792 \] 8. **\( 860 \)**: \[ 860 - 068 = 792 \] 9. **\( 902 \)**: \[ 902 - 209 = 693 \] 10. **\( 904 \)**: \[ 904 - 409 = 495 \] 11. **\( 906 \)**: \[ 906 - 609 = 297 \] 12. **\( 908 \)**: \[ 908 - 809 = 099 \] ### Результаты: Таким образом, подходящие трехзначные числа, которые соблюдают условия, это \( 720 \) и \( 902 \) с разностью \( 693 \). Теперь найдем сумму двух наибольших: \[ 720 + 902 = 1622 \] ### Ответ: Сумма двух наибольших чисел, удовлетворяющих условиям задачи, равна \( 1622 \).