Постройте график функции y=|x-3|-|x+3| и найдите все значения k, при которых прямая y=kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Решение:

Для начала построим график функции y = |x - 3| - |x + 3|.

1. Рассмотрим различные интервалы для x:

   • Когда x ≤ -3: В этом случае у нас оба модуля будут негативными, поэтому y = -(x - 3) - (-x - 3) = -2x.
   • Когда -3 < x ≤ 3: Здесь первый модуль положителен, а второй - отрицателен, это даст нам y = (x - 3) - (-x - 3) = 2x - 6.
   • Когда x > 3: Оба модуля будут положительными, значит y = (x - 3) - (x + 3) = -6.

2. Построим график функции:

   • Для x ≤ -3: y = -2x
     • График будет прямой, идущей с угловым коэффициентом -2.
   • Для -3 < x ≤ 3: y = 2x - 6
     • График также представляет собой прямую, проходящую с угловым коэффициентом 2 и сдвигом вниз на 6 единиц от начала координат.
   • Для x > 3: y = -6
     • В этом диапазоне y просто равен -6, что представляет горизонтальную линию на уровне y = -6.

3. Нахождение общей точки с прямой y = kx:

   • Общая точка будет находиться на графике функции y = |x - 3| - |x + 3|, где значение функции равно уравнению прямой y = kx.
   • Запишем уравнение для обоих графиков и приравняем их: |x - 3| - |x + 3| = kx
   • Далее, рассмотрим различные интервалы для x и найдем все значения k, при которых у нас есть одна общая точка.

Таким образом, решив уравнение |x - 3| - |x + 3| = kx для каждого диапазона значений x, мы можем найти все значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.