Окружность, вписанная в треугольник 𝐿𝑀𝑁, точками касания с треугольником делится на дуги, градусные меры которых равны: ∪𝐴𝐵 = 120° и ∪𝐵𝐶 = 110°. Вычислите углы треугольника и градусную меру дуги 𝐶𝐴.

**Решение:** Известно, что если окружность вписана в треугольник, то лучи, проведенные от вершин треугольника до точек касания окружности с сторонами треугольника, являются биссектрисами углов данного треугольника. Дано: ∠𝐴𝐵 = 120° ∠𝐵𝐶 = 110° 1. Преобразуем данные углы в меры половин углов треугольника 𝐿𝑀𝑁, так как это будут углы с вершинами в точках касания. Вершина A: ∠𝐿𝐹𝑀 = 60° (половина ∠𝐴𝐵) Вершина C: ∠𝑁𝐺𝐿 = 55° (половина ∠𝐵𝐶) 2. Определим третий угол треугольника 𝐿𝑀𝑁, считая, что сумма углов треугольника равна 180°. ∠𝑀𝐿𝑁 = 180° - (60° + 55°) ∠𝑀𝐿𝑁 = 65° Теперь у нас есть углы треугольника 𝐿𝑀𝑁: ∠𝐿𝐹𝑀 = 60° ∠𝑀𝐿𝑁 = 65° ∠𝑁𝐺𝐿 = 55° 3. Чтобы найти градусную меру дуги 𝐶𝐴, рассмотрим соответствующий угол в окружности. Градусная мера дуги, построенной на отрезке дуги, касающейся данного отрезка, в два раза больше угла между отрезком и касательной. Так как 𝐶𝐴 - отрезок, соединяющий точки касания окружности с треугольником, то угол, соответствующий дуге 𝐶𝐴, равен половине угла при вершине C в треугольнике 𝐿𝑀𝑁. Угол при вершине C: ∠𝑁𝐺𝐿 = 55° Угловая мера дуги 𝐶𝐴 = 0.5 * 55° = 27.5° **Ответ:** Углы треугольника 𝐿𝑀𝑁: ∠𝐿𝐹𝑀 = 60° ∠𝑀𝐿𝑁 = 65° ∠𝑁𝐺𝐿 = 55° Градусная мера дуги 𝐶𝐴: 27.5°