Реши задачу

Данная задача - о нахождении производной квадратичной функции и работы с графиком.

Дано: Функция: \( f(x) = ax^2 + bx - 6 \).

Необходимо: Найти \( f'(6) \), где \( f'(x) \) - производная функции \( f(x) \).

Решение:

1. Определим производную функции. Для функции \( f(x) = ax^2 + bx - 6 \):

   Производная \( f'(x) \) будет: \[ f'(x) = 2ax + b \]

2. Решим уравнения для нахождения коэффициентов.

   Исходя из графика:

   \[ f(-2) = 0 \quad \text{и} \quad f(3) = 0 \]

   Подставим в уравнение:

   Для \( f(-2) = 0 \): \[ a(-2)^2 + b(-2) - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4a - 2b - 6 = 0 \]

   Для \( f(3) = 0 \): \[ a(3)^2 + b(3) - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 9a + 3b - 6 = 0 \]

3. Решим систему уравнений:

   Уравнения: \[ \begin{align*} 4a - 2b &= 6 \quad \quad (1)\\ 9a + 3b &= 6 \quad \quad (2) \end{align*} \]

   Решим систему:

   (1): \(4a - 2b = 6 \) \ Умножим на \( 3 \): \( 12a - 6b = 18 \)

   (2): \( 9a + 3b = 6 \) \ Умножим на \( 2 \): \( 18a + 6b = 12 \)

   Сложим уравнения:

   \[ 12a - 6b + 18a + 6b = 18 + 12 \] \[ 30a = 30 \quad \Rightarrow \quad a = 1 \]

   Подставим \( a = 1 \) в уравнение (1):

   \[ 4(1) - 2b = 6 \quad \Rightarrow \quad 4 - 2b = 6 \] \[ -2b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = -1 \]

4. Найдем \( f'(6) \):

   \[ f'(x) = 2ax + b \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2(1)x - 1 \] \[ f'(6) = 2(6) - 1 = 12 - 1 = 11 \]

Ответ: \( f'(6) = 11 \)