Дано: ( b_3 = -3 ) и ( b_6 = -81 )
Мы знаем, что для геометрической прогрессии ( b_n = b_1 \cdot r^{n-1} ), где ( b_n ) - n-й член прогрессии, ( b_1 ) - первый член прогрессии, ( r ) - знаменатель прогрессии, ( n ) - номер члена прогрессии.
По условию задачи, известны значения третьего и шестого членов прогрессии:
( b_3 = b_1 \cdot r^{3-1} = b_1 \cdot r^2 = -3 )
( b_6 = b_1 \cdot r^{6-1} = b_1 \cdot r^5 = -81 )
Мы должны найти пятый член прогрессии, то есть ( b_5 ).
Для решения этой задачи сначала найдем соотношение между ( b_1 ) и ( r ).
Из уравнения ( b_1 \cdot r^2 = -3 ) мы можем найти ( b_1 = \frac{-3}{r^2} )
Из уравнения ( b_1 \cdot r^5 = -81 ) можем подставить найденное значение ( b_1 ) и найти ( r ):
[ \frac{-3}{r^2} \cdot r^5 = -81 ]
[ -3 \cdot r^3 = -81 ]
[ r^3 = \frac{81}{3} ]
[ r^3 = 27 ]
[ r = \sqrt[3]{27} ]
[ r = 3 ]
Теперь найдем ( b_1 ):
[ b_1 = \frac{-3}{r^2} = \frac{-3}{3^2} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} ]
И, наконец, найдем пятый член прогрессии:
[ b_5 = b_1 \cdot 3^{5-1} = -\frac{1}{3} \cdot 3^4 = -\frac{1}{3} \cdot 81 = -27 ]
Итак, пятый член геометрической прогрессии равен -27.
