найти 5 член геометрической прогрессии, если b3=-3;b6=-81

Дано: \( b_3 = -3 \) и \( b_6 = -81 \)

Мы знаем, что для геометрической прогрессии \( b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \), где \( b_n \) - n-й член прогрессии, \( b_1 \) - первый член прогрессии, \( r \) - знаменатель прогрессии, \( n \) - номер члена прогрессии.

По условию задачи, известны значения третьего и шестого членов прогрессии:

\( b_3 = b_1 \cdot r^{3-1} = b_1 \cdot r^2 = -3 \)
\( b_6 = b_1 \cdot r^{6-1} = b_1 \cdot r^5 = -81 \)

Мы должны найти пятый член прогрессии, то есть \( b_5 \).

Для решения этой задачи сначала найдем соотношение между \( b_1 \) и \( r \).
Из уравнения \( b_1 \cdot r^2 = -3 \) мы можем найти \( b_1 = \frac{-3}{r^2} \)
Из уравнения \( b_1 \cdot r^5 = -81 \) можем подставить найденное значение \( b_1 \) и найти \( r \):

\[ \frac{-3}{r^2} \cdot r^5 = -81 \]
\[ -3 \cdot r^3 = -81 \]
\[ r^3 = \frac{81}{3} \]
\[ r^3 = 27 \]
\[ r = \sqrt[3]{27} \]
\[ r = 3 \]

Теперь найдем \( b_1 \):
\[ b_1 = \frac{-3}{r^2} = \frac{-3}{3^2} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} \]

И, наконец, найдем пятый член прогрессии:
\[ b_5 = b_1 \cdot 3^{5-1} = -\frac{1}{3} \cdot 3^4 = -\frac{1}{3} \cdot 81 = -27 \]

Итак, пятый член геометрической прогрессии равен -27.