Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при этом выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попал в мишень 2 раза и 2 раза промахнулся.
Для решения этой задачи применим биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний, где вероятность успеха (попадания в мишень) и неудачи (промаха) постоянна.
Зададим обозначения:
- \( n = 4 \) - общее количество испытаний (выстрелов)
- \( k = 2 \) - количество успехов (попаданий в мишень)
- \( p = 0.7 \) - вероятность успеха (попадания в мишень)
- \( q = 1 - p = 0.3 \) - вероятность неудачи (промаха)
Тогда вероятность \( P(k) \) того, что из \( n \) испытаний произойдет \( k \) успешных событий, определяется формулой биномиального распределения:
\[ P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C_n^k \) - число сочетаний из \( n \) элементов по \( k \) элементов и вычисляется по формуле:
\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь подставим значения в формулу для нашей задачи:
\[ P(2) = C_4^2 \cdot 0.7^2 \cdot 0.3^2 \]
Вычислим число сочетаний:
\[ C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6 \]
Теперь подставим это значение:
\[ P(2) = 6 \cdot 0.7^2 \cdot 0.3^2 \]
\[ P(2) = 6 \cdot 0.49 \cdot 0.09 \]
\[ P(2) = 6 \cdot 0.0441 \]
\[ P(2) = 0.2646 \]
Итак, вероятность того, что стрелок попал в мишень 2 раза и промахнулся 2 раза составляет около 0.2646 или примерно 26.46%.
