Для биноминального распределения случайной величины ( Y ) с параметрами ( n ) и ( p ) математическое ожидание и дисперсия определяются следующим образом:
Математическое ожидание ( E(Y) ):
[ E(Y) = n \cdot p ]
Дисперсия ( Var(Y) ):
[ Var(Y) = n \cdot p \cdot (1 - p) ]
По условию задачи нам дано, что математическое ожидание равно 10 и дисперсия равна 5. Мы можем записать уравнения по заданным значениям:
Для математического ожидания:
[ 10 = n \cdot p ]
Для дисперсии:
[ 5 = n \cdot p \cdot (1 - p) ]
Мы имеем систему уравнений, которую мы можем решить. Теперь рассмотрим два подхода для решения этой системы:
Подход 1: Метод подстановки
Из первого уравнения выразим ( p ) через ( n ):
[ p = \frac{10}{n} ]
Подставим это значение во второе уравнение:
[ 5 = n \cdot \left( \frac{10}{n} \right) \cdot \left( 1 - \frac{10}{n} \right) ]
[ 5 = 10 \cdot \left( 1 - \frac{10}{n} \right) ]
[ 5 = 10 - \frac{100}{n} ]
[ \frac{100}{n} = 5 ]
[ n = 20 ]
Теперь найдем значение ( p ):
[ p = \frac{10}{20} = 0.5 ]
Таким образом, значение ( n = 20 ) и ( p = 0.5 ).
Подход 2: Метод замещения дисперсии
Используем данный информацию о дисперсии:
[ 5 = n \cdot p \cdot (1 - p) ]
Подставим значение математического ожидания ( p = \frac{10}{n} ):
[ 5 = n \cdot \frac{10}{n} \cdot \left( 1 - \frac{10}{n} \right) ]
Упростим выражение:
[ 5 = 10 \cdot \left( 1 - \frac{10}{n} \right) ]
[ 5 = 10 - \frac{100}{n} ]
[ \frac{100}{n} = 5 ]
[ n = 20 ]
Таким образом, мы снова получаем значение ( n = 20 ).
И, используя формулу для математического ожидания, находим значение ( p ):
[ p = \frac{10}{20} = 0.5 ]
Таким образом, мы пришли к выводу, что значение ( n = 20 ) и ( p = 0.5 ).
