В некоторой стране количество городов равно 53. Железнодорожная компания решила соединить все эти города. Строительство железного полотна стоит дорого, поэтому их количество…
В некоторой стране количество городов равно 53. Железнодорожная компания решила соединить все эти города. Строительство железного полотна стоит дорого, поэтому их количество должно быть минимальным. Но компания заботится и об удобстве жителей страны. Поэтому дороги будут спроектированы так, чтобы из каждого города можно было попасть в любой сделав не более двух пересадок. Сколько железных дорог нужно будет проложить компании?
Для решения данной задачи нам необходимо определить минимальное количество дорог, которые должна проложить железнодорожная компания, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой не более чем с двумя пересадками.
- Сначала рассмотрим, сколько максимум возможных прямых маршрутов из одного города в другой при условии, что из каждого можно проехать не более чем через один промежуточный город (то есть одна пересадка). Обратим внимание, что каждая пара городов имеет 1 маршрут прямого сообщения (например, город 1 -> город 2). Таких пар будет равно сочетание по 2 из 53 городов.
\[ C^{2}_{53} = \frac{53!}{2!(53-2)!} = \frac{53 * 52}{2} = 1378 \]
- Затем рассмотрим, сколько максимум возможных маршрутов с одной пересадкой. Для этого выберем один промежуточный город и будем искать маршруты из начального города в промежуточный и из промежуточного в конечный. Количество пар городов, через которые можно проложить маршрут с одной пересадкой, равно произведению сочетаний по 2 из 53 городов (количество вариантов выбора начального и конечного города) и 51 (количество оставшихся городов для промежуточной остановки).
\[ C^{2}_{53} * 51 = 1378 * 51 = 70278 \]
- Наконец, найдем количество маршрутов с двумя пересадками. Для этого выберем два промежуточных города и найдем количество пар городов, через которые можно проложить маршрут с двумя пересадками. Это количество равно произведению сочетаний по 2 из 53 городов (выбор начального и конечного города), сочетаний по 2 из 51 (выбор двух промежуточных городов) и 49 (оставшиеся города для прохождения маршрута через промежуточные пункты).
\[ C^{2}_{53} * C^{2}_{51} * 49 = 1378 * \frac{51!}{2!(51-2)!} * 49 = 1378 * 1275 * 49 = 84767050 \]
Таким образом, железнодорожная компания должна проложить \( 1378 + 70278 + 84767050 = 84838906 \) железных дорог, чтобы обеспечить возможность попасть из каждого города в любой другой город страны не более чем через две пересадки.
