Диаметр окружности описанной около прямоугольного треугольника равен 18см . Найти длину медианы проведенной из вершины прямого угла этого треугольника

**Решение:** Дано: диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 18 см. 1. Для начала, рассмотрим прямоугольный треугольник:  2. Пусть A, B, C - вершины треугольника, где угол C прямой. 3. Обозначим D - середину гипотенузы AB (точка, в которой пересекаются медианы), M - середину гипотенузы AB, а R - радиус окружности. 4. Раз у треугольника ABC диаметр окружности описанной около него равен 18 см, то радиус окружности равен половине диаметра, т.е. \( R = 9 \) см. 5. Так как точка D - середина гипотенузы, то длина медианы из вершины прямого угла равна половине гипотенузы AD: 6. Нам нужно найти длину медианы AD. Для этого воспользуемся свойством прямоугольных треугольников: - В прямоугольном треугольнике AMB по теореме Пифагора имеем: \( AM^2 + BM^2 = AB^2 \). - Так как \( AM = BM \) (по свойству середины гипотенузы), у нас получается \( 2 \cdot AM^2 = AB^2 \). 7. Теперь зная, что \( AB = 2R = 18 \) см, подставим в формулу и найдём длину AM: \( 2 \cdot AM^2 = 18^2 \) \( 2 \cdot AM^2 = 324 \) \( AM^2 = 162 \) \( AM = \sqrt{162} \) \( AM = 9\sqrt{2} \) см. 8. Наконец, длина медианы AD равна половине гипотенузы, то есть \( AD = \frac{AM}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} = 4.5\sqrt{2} \) см. Таким образом, длина медианы, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна \( 4.5\sqrt{2} \) см.