диаметр окружности описанной около прямоугольного треугольника равен 18см . Найти длину медианы проведенной из вершины прямого угла этого треугольника
Решение:
Дано: диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 18 см.
- Для начала, рассмотрим прямоугольный треугольник:
Пусть A, B, C - вершины треугольника, где угол C прямой.
Обозначим D - середину гипотенузы AB (точка, в которой пересекаются медианы), M - середину гипотенузы AB, а R - радиус окружности.
Раз у треугольника ABC диаметр окружности описанной около него равен 18 см, то радиус окружности равен половине диаметра, т.е. \( R = 9 \) см.
Так как точка D - середина гипотенузы, то длина медианы из вершины прямого угла равна половине гипотенузы AD:
Нам нужно найти длину медианы AD. Для этого воспользуемся свойством прямоугольных треугольников:
- В прямоугольном треугольнике AMB по теореме Пифагора имеем: \( AM^2 + BM^2 = AB^2 \).
- Так как \( AM = BM \) (по свойству середины гипотенузы), у нас получается \( 2 \cdot AM^2 = AB^2 \).
Теперь зная, что \( AB = 2R = 18 \) см, подставим в формулу и найдём длину AM:
\( 2 \cdot AM^2 = 18^2 \)
\( 2 \cdot AM^2 = 324 \)
\( AM^2 = 162 \)
\( AM = \sqrt{162} \)
\( AM = 9\sqrt{2} \) см.Наконец, длина медианы AD равна половине гипотенузы, то есть \( AD = \frac{AM}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} = 4.5\sqrt{2} \) см.
Таким образом, длина медианы, проведенной из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна \( 4.5\sqrt{2} \) см.
