Номер13

Для задачи №13 нужно определить, какие из векторов \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) перпендикулярны. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}(u_1, u_2, u_3)\) и \(\mathbf{v}(v_1, v_2, v_3)\) рассчитывается по формуле: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \] Проверим каждую пару векторов: 1. **Скалярное произведение \(\mathbf{a}(-2, 1, 2)\) и \(\mathbf{b}(0, 1, 2)\):** \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 0 + 1 + 4 = 5 \] Скалярное произведение не равно нулю, значит, векторы не перпендикулярны. 2. **Скалярное произведение \(\mathbf{a}(-2, 1, 2)\) и \(\mathbf{c}(-2, -4)\):** \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-4) = -2 - 2 - 8 = -12 \] Скалярное произведение не равно нулю, значит, векторы не перпендикулярны. 3. **Скалярное произведение \(\mathbf{b}(0, 1, 2)\) и \(\mathbf{c}(-2, -4)\):** \[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-4) = 0 - 2 - 8 = -10 \] Скалярное произведение не равно нулю, значит, векторы не перпендикулярны. Решение: Ни одна из пар векторов не перпендикулярна. --- Задача №14: Определить, какие из векторов параллельны. Векторы параллельны, если один из них является скалярным произведением другого, то есть их координаты пропорциональны. Проверим каждую пару векторов: 1. **Векторы \(\mathbf{a}(-2, 1, 2)\) и \(\mathbf{b}(4, -2, 2)\):** Проверим пропорциональность компонент: \(\frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{2} = 1\) Компоненты не пропорциональны, векторы не параллельны. 2. **Векторы \(\mathbf{a}(-2, 1, 2)\) и \(\mathbf{c}(-2, -4, 1)\):** Проверим пропорциональность компонент: \(\frac{-2}{-2} = 1\), \(\frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}\), \(\frac{2}{1} = 2\) Компоненты не пропорциональны, векторы не параллельны. 3. **Векторы \(\mathbf{b}(4, -2, 2)\) и \(\mathbf{c}(-2, -4, 1)\):** Проверим пропорциональность компонент: \(\frac{4}{-2} = -2\), \(\frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}\), \(\frac{2}{1} = 2\) Компоненты не пропорциональны, векторы не параллельны. Решение: Ни одна из пар векторов не параллельна.