Номер13
Для задачи №13 нужно определить, какие из векторов \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\) перпендикулярны.
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение векторов \(\mathbf{u}(u_1, u_2, u_3)\) и \(\mathbf{v}(v_1, v_2, v_3)\) рассчитывается по формуле:
\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]
Проверим каждую пару векторов:
Скалярное произведение \(\mathbf{a}(-2, 1, 2)\) и \(\mathbf{b}(0, 1, 2)\):
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 0 + 1 + 4 = 5 \]
Скалярное произведение не равно нулю, значит, векторы не перпендикулярны.
Скалярное произведение \(\mathbf{a}(-2, 1, 2)\) и \(\mathbf{c}(-2, -4)\):
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-4) = -2 - 2 - 8 = -12 \]
Скалярное произведение не равно нулю, значит, векторы не перпендикулярны.
Скалярное произведение \(\mathbf{b}(0, 1, 2)\) и \(\mathbf{c}(-2, -4)\):
\[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-4) = 0 - 2 - 8 = -10 \]
Скалярное произведение не равно нулю, значит, векторы не перпендикулярны.
Решение: Ни одна из пар векторов не перпендикулярна.
Задача №14: Определить, какие из векторов параллельны.
Векторы параллельны, если один из них является скалярным произведением другого, то есть их координаты пропорциональны.
Проверим каждую пару векторов:
Векторы \(\mathbf{a}(-2, 1, 2)\) и \(\mathbf{b}(4, -2, 2)\):
Проверим пропорциональность компонент:
\(\frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{2} = 1\)
Компоненты не пропорциональны, векторы не параллельны.
Векторы \(\mathbf{a}(-2, 1, 2)\) и \(\mathbf{c}(-2, -4, 1)\):
Проверим пропорциональность компонент:
\(\frac{-2}{-2} = 1\), \(\frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}\), \(\frac{2}{1} = 2\)
Компоненты не пропорциональны, векторы не параллельны.
Векторы \(\mathbf{b}(4, -2, 2)\) и \(\mathbf{c}(-2, -4, 1)\):
Проверим пропорциональность компонент:
\(\frac{4}{-2} = -2\), \(\frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}\), \(\frac{2}{1} = 2\)
Компоненты не пропорциональны, векторы не параллельны.
Решение: Ни одна из пар векторов не параллельна.
