. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.
Для решения данной задачи о вероятности успеха в серии испытаний, когда вероятность успеха при одном испытании постоянна, мы будем использовать биномиальное распределение.
В данном случае, вероятность успеха (поражения цели) в каждом отдельном выстреле равна 0.9, следовательно вероятность неудачи (промаха) будет равна 0.1.
Мы хотим найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19. Это означает, что мы должны рассчитать вероятности для случаев, когда у нас точно 16, 17, 18 или 19 удачных выстрелов, и затем сложить эти вероятности.
Давайте вычислим каждую вероятность по формуле биномиального распределения: \[ P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \], где:
- \( P(k) \) - вероятность получения \( k \) успехов в \( n \) испытаниях,
- \( C_n^k \) - количество комбинаций из \( n \) по \( k \),
- \( p \) - вероятность успеха в одном испытании,
- \( q \) - вероятность неудачи в одном испытании ( \( q = 1 - p \) ).
Теперь рассчитаем нужные вероятности:
- Для 16 успешных выстрелов: \[ P(16) = C_{20}^{16} \cdot 0.9^{16} \cdot 0.1^4 \]
- Для 17 успешных выстрелов: \[ P(17) = C_{20}^{17} \cdot 0.9^{17} \cdot 0.1^3 \]
- Для 18 успешных выстрелов: \[ P(18) = C_{20}^{18} \cdot 0.9^{18} \cdot 0.1^2 \]
- Для 19 успешных выстрелов: \[ P(19) = C_{20}^{19} \cdot 0.9^{19} \cdot 0.1^1 \]
Теперь просуммируем эти вероятности, чтобы получить итоговую вероятность: \[ P = P(16) + P(17) + P(18) + P(19) \]
Подставив значения, мы можем вычислить итоговую вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.
