катер шел по течению реки 32км в час,повернув обратно,он прошел ещё 24км,затратив на весь путь 4 часа.Найдите собственную скорость катера,если скорость течения реки равна 5км в час

Решение:

Пусть скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) равна \(V\) км/ч.

1. Когда катер идет по течению:

   • Суммарная скорость катера и течения составляет \(V + 5\) км/ч.
   • Время, затраченное на пройденное расстояние в этом случае, равно \(t_1 = \frac{32}{V+5}\) ч.

2. Когда катер идет против течения:

   • Суммарная скорость катера и течения составляет \(V - 5\) км/ч.
   • Время, затраченное на пройденное расстояние в этом случае, равно \(t_2 = \frac{24}{V-5}\) ч.

Дано:

• Путь в одну сторону пусть составляет \(D\) км.
• Весь путь составляет \(D + D = 56\) км.
• Время на весь путь равно \(4\) часа, т.е. \(t_1 + t_2 = 4\).

Теперь можем записать уравнение:

\[\frac{32}{V+5} + \frac{24}{V-5} = 4\]

Чтобы решить это уравнение, сначала умножим его на \((V+5)(V-5)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[32(V-5) + 24(V+5) = 4(V+5)(V-5)\] \[32V - 160 + 24V + 120 = 4(V^2 - 25)\] \[56V - 40 = 4V^2 - 100\] \[4V^2 - 56V - 60 = 0\]

Разделим на 4 для удобства:

\[V^2 - 14V - 15 = 0\]

Теперь решим полученное квадратное уравнение, используя, например, метод дискриминанта. Квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-14\), \(c=-15\).

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = (-14)^2 - 4*1*(-15) = 196 + 60 = 256\]

Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у уравнения есть два различных вещественных корня.

Рассчитаем корни уравнения:

\[V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2}\]

Таким образом, получаем:

• \(V_1 = \frac{14 + 16}{2} = 15\) км/ч (собственная скорость катера),
• \(V_2 = \frac{14 - 16}{2} = -1\) км/ч (не подходит, так как скорость должна быть положительной).

Итак, собственная скорость катера составляет \(15\) км/ч.