Решение:
Пусть скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) равна $V$ км/ч.
Когда катер идет по течению:
- Суммарная скорость катера и течения составляет $V + 5$ км/ч.
- Время, затраченное на пройденное расстояние в этом случае, равно $t_1 = \frac{32}{V+5}$ ч.
Когда катер идет против течения:
- Суммарная скорость катера и течения составляет $V - 5$ км/ч.
- Время, затраченное на пройденное расстояние в этом случае, равно $t_2 = \frac{24}{V-5}$ ч.
Дано:
- Путь в одну сторону пусть составляет $D$ км.
- Весь путь составляет $D + D = 56$ км.
- Время на весь путь равно $4$ часа, т.е. $t_1 + t_2 = 4$.
Теперь можем записать уравнение:
$$\frac{32}{V+5} + \frac{24}{V-5} = 4$$
Чтобы решить это уравнение, сначала умножим его на $(V+5)(V-5)$, чтобы избавиться от знаменателей:
$$32(V-5) + 24(V+5) = 4(V+5)(V-5)$$
$$32V - 160 + 24V + 120 = 4(V^2 - 25)$$
$$56V - 40 = 4V^2 - 100$$
$$4V^2 - 56V - 60 = 0$$
Разделим на 4 для удобства:
$$V^2 - 14V - 15 = 0$$
Теперь решим полученное квадратное уравнение, используя, например, метод дискриминанта. Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-14$, $c=-15$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$$D = (-14)^2 - 41(-15) = 196 + 60 = 256$$
Так как дискриминант положителен ($D > 0$), у уравнения есть два различных вещественных корня.
Рассчитаем корни уравнения:
$$V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2}$$
Таким образом, получаем:
- $V_1 = \frac{14 + 16}{2} = 15$ км/ч (собственная скорость катера),
- $V_2 = \frac{14 - 16}{2} = -1$ км/ч (не подходит, так как скорость должна быть положительной).
Итак, собственная скорость катера составляет $15$ км/ч.
