У Максима есть игрушечные солдатики сначала он построил их в шеренги по 10 солдатиков у него остались 4 лишних тогда Максим построил солдатиков в шеренги по 6 и лишних не осталось…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Условия задачи:

   • Максим сначала строит шеренги по 10 солдатиков, и у него остаётся 4 лишних. Это значит, что количество солдатиков при делении на 10 даёт остаток 4.
   • Затем он строит шеренги по 6 солдатиков, и лишних не остаётся. Это значит, что количество солдатиков делится на 6 без остатка.
   • Солдатиков не больше 60, но меньше 100.

2. Перевод задачи на математический язык:

   • Пусть \( N \) — общее количество солдатиков.
   • Условие делимости на 10 с остатком 4 записывается как: \( N \equiv 4 \pmod{10} \).
   • Условие делимости на 6 записывается как: \( N \equiv 0 \pmod{6} \).

3. Поиск общего решения:

   • Нам нужно найти число \( N \), такое что \( N \equiv 4 \pmod{10} \) и \( N \equiv 0 \pmod{6} \), причём \( 60 < N < 100 \).

4. Решение совокупности конгруэнций:

   • \( N = 10k + 4 \) для некоторого целого \( k \).
   • Подставим в условие делимости на 6: \( 10k + 4 \equiv 0 \pmod{6} \).
   • Упростим: \( 10k \equiv -4 \equiv 2 \pmod{6} \).
   • Заметим, что \( 10 \equiv 4 \pmod{6} \), следовательно, \( 4k \equiv 2 \pmod{6} \).

5. Решение уравнения \( 4k \equiv 2 \pmod{6} \):

   • Разделим обе части на 2: \( 2k \equiv 1 \pmod{3} \).
   • Инвертируем: умножим обе части на 2 (обратное по модулю 3): \( 4k \equiv 2 \equiv 1 \times 2 \equiv 2 \pmod{3} \).
   • Решение \( k \equiv 2 \pmod{3} \) означает, что \( k = 3m + 2 \).

6. Подставляем решение обратно для \( N \):

   • \( N = 10(3m + 2) + 4 = 30m + 20 + 4 = 30m + 24 \).

7. Условия для \( N \):

   • \( 60 < N < 100 \)
   • Подставим: \( 60 < 30m + 24 < 100 \).
   • \( 36 < 30m < 76 \).
   • Делим всё на 30: \( 1.2 < m < 2.53 \).

8. Выбор возможных значений \( m \):

   • \( m = 2 \) (единственное целое число, удовлетворяющее неравенству):
   • \( N = 30 \times 2 + 24 = 60 + 24 = 84 \).

Таким образом, количество солдатиков у Максима — 84.