Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 15 см, а радиус вписанной в него окружности равен 4 см. Найдите площадь четырёхугольника.

Дано:
Сумма двух противоположных сторон четырёхугольника: 15 см
Радиус вписанной в четырёхугольник окружности: 4 см

Чтобы найти площадь четырёхугольника, рассмотрим следующие свойства:

1. Площадь четырёхугольника можно разбить на четыре треугольника, вписанных в круг с радиусом r (в случае вписанной окружности).
2. Площадь треугольника можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \), где a и b - стороны треугольника, C - угол между сторонами a и b.

Обозначим стороны четырёхугольника как a, b, c, d (a и c, b и d - противоположные стороны), а радиус вписанной в 4ugolnik окружности как r.

Так как сумма противоположных сторон равна 15 см, то a + c = 15. Также известно, что радиус вписанной в четырёхугольник окружности равен 4 см.

Для каждого треугольника с радиусом r, можно найти площадь:

1. Для треугольника со сторонами a и r:
   Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot r \cdot \sin(A) \)

2. Для треугольника со сторонами b и r:
   Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot b \cdot r \cdot \sin(B) \)

3. Для треугольника со сторонами c и r:
   Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot c \cdot r \cdot \sin(C) \)

4. Для треугольника со сторонами d и r:
   Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot d \cdot r \cdot \sin(D) \)

Поскольку искомая площадь четырёхугольника равна сумме площадей четырёх треугольников, то общая формула для площади четырёхугольника равна:

Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot (a + b + c + d) \cdot r \cdot (\sin(A) + \sin(B) + \sin(C) + \sin(D)) \)

Мы знаем, что \(a + c = 15\) и \(r = 4\). Подставляя значения, получим:

Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 4 \cdot (\sin(A) + \sin(B) + \sin(C) + \sin(D)) \)

Поскольку четырёхугольник выпуклый, то \( \sin(A) + \sin(B) + \sin(C) + \sin(D) \) равно 2, итак:

Площадь = \( \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 4 \cdot 2 = 60 \; см^2 \)

Итак, площадь четырёхугольника равна 60 квадратным сантиметров.