а
Изображение содержит несколько задач по теме "Квадратичная функция". Давайте разберём первую задачу:
1. Постройте график функции \( y = -x^2 + 2x + 3 \).
Найдите:
а) Промежутки возрастания и убывания функции.
Решение:
Построение графика функции
Функция \( y = -x^2 + 2x + 3 \) является квадратичной и описывает параболу, ветви которой направлены вниз (так как перед \( x^2 \) минус).
Поиск вершины параболы
Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \), \( b = 2 \).
\[ x = -\frac{2}{2(-1)} = 1 \]
Подставим \( x = 1 \) в уравнение, чтобы найти \( y \):
\[ y = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, 4) \).
Нахождение нулей функции (точки пересечения с осью x)
Решим уравнение \( -x^2 + 2x + 3 = 0 \):
\[ -x^2 + 2x + 3 = 0 \]
Используем квадратное уравнение:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим \( a = -1 \), \( b = 2 \), \( c = 3 \):
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(-1)(3)}}{2(-1)} \]
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{-2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm 4}{-2} \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{-2 + 4}{-2} = -1, \quad x_2 = \frac{-2 - 4}{-2} = 3 \]
Парабола пересекает ось \( x \) в точках \( x = -1 \) и \( x = 3 \).
Находим точку пересечения с осью \( y \)
Подставим \( x = 0 \):
\[ y = -0^2 + 2(0) + 3 = 3 \]
График пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 3) \).
Промежутки возрастания и убывания
Поскольку вершина \( x = 1 \):
- Функция возрастает на промежутке \( x \in (-\infty, 1) \)
- Функция убывает на промежутке \( x \in (1, +\infty) \)
Ответ:
а) Промежутки возрастания: \( (-\infty, 1) \); убывания: \( (1, +\infty) \)
