Вычислите уравнение

Чтобы решить уравнение \(\sqrt{x + 13} - \sqrt{x + 1} = 2\), давайте следовать пошаговой инструкции:

1. Изолируем один из корней:

   \[ \sqrt{x + 13} = \sqrt{x + 1} + 2 \]

2. Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

   \[ (\sqrt{x + 13})^2 = (\sqrt{x + 1} + 2)^2 \]

   \[ x + 13 = (x + 1) + 4\sqrt{x + 1} + 4 \]

   \[ x + 13 = x + 5 + 4\sqrt{x + 1} \]

3. Упростим уравнение, вычитая \(x + 5\) из обеих сторон:

   \[ 13 - 5 = 4\sqrt{x + 1} \]

   \[ 8 = 4\sqrt{x + 1} \]

4. Разделим обе стороны на 4:

   \[ 2 = \sqrt{x + 1} \]

5. Возведем обе стороны в квадрат, чтобы решить уравнение:

   \[ 2^2 = (x + 1) \]

   \[ 4 = x + 1 \]

6. Выразим \(x\):

   \[ x = 4 - 1 \]

   \[ x = 3 \]

7. Проверим ответ, подставив \(x = 3\) обратно в исходное уравнение:

   Исходное уравнение: \(\sqrt{x + 13} - \sqrt{x + 1} = 2\)

   Подставляем \(x = 3\):

   \[ \sqrt{3 + 13} - \sqrt{3 + 1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 \]

   Да, решение верное: \(x = 3\).

Таким образом, \(x = 3\) является правильным решением.