Вычислите уравнение
Чтобы решить уравнение \(\sqrt{x+13} - \sqrt{x+1} = 2\), следуйте этим шагам:
Шаг 1: Изолируем один из радикалов
Возьмём уравнение \(\sqrt{x+13} = \sqrt{x+1} + 2\).
Шаг 2: Возводим обе части в квадрат
Чтобы убрать квадратные корни, возведем обе части уравнения в квадрат:
\[ (\sqrt{x+13})^2 = (\sqrt{x+1} + 2)^2 \]
Это даст нам:
\[ x + 13 = (\sqrt{x+1})^2 + 4\sqrt{x+1} + 4 \]
Упрощаем правую часть:
\[ x + 13 = x + 1 + 4\sqrt{x+1} + 4 \]
Сокращаем \(x\) по обе стороны:
\[ 13 = 5 + 4\sqrt{x+1} \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Вычитаем 5 из обеих сторон:
\[ 8 = 4\sqrt{x+1} \]
Делим обе стороны на 4:
\[ 2 = \sqrt{x+1} \]
Шаг 4: Возводим обе части в квадрат ещё раз
Избавляемся от корня:
\[ 4 = x + 1 \]
Вычитаем 1 из обеих сторон:
\[ x = 3 \]
Шаг 5: Проверка решения
Подставим \(x = 3\) в изначальное уравнение:
Левая часть: \[ \sqrt{3+13} - \sqrt{3+1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2 \]
Правая часть: \[ 2 \]
Левая часть равна правой, значит, \(x = 3\) — верное решение.
Ответ: \(x = 3\).
