Чтобы решить уравнение (\sqrt{x+13} - \sqrt{x+1} = 2), следуйте этим шагам:
Шаг 1: Изолируем один из радикалов
Возьмём уравнение (\sqrt{x+13} = \sqrt{x+1} + 2).
Шаг 2: Возводим обе части в квадрат
Чтобы убрать квадратные корни, возведем обе части уравнения в квадрат:
[
(\sqrt{x+13})^2 = (\sqrt{x+1} + 2)^2
]
Это даст нам:
[
x + 13 = (\sqrt{x+1})^2 + 4\sqrt{x+1} + 4
]
Упрощаем правую часть:
[
x + 13 = x + 1 + 4\sqrt{x+1} + 4
]
Сокращаем (x) по обе стороны:
[
13 = 5 + 4\sqrt{x+1}
]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Вычитаем 5 из обеих сторон:
[
8 = 4\sqrt{x+1}
]
Делим обе стороны на 4:
[
2 = \sqrt{x+1}
]
Шаг 4: Возводим обе части в квадрат ещё раз
Избавляемся от корня:
[
4 = x + 1
]
Вычитаем 1 из обеих сторон:
[
x = 3
]
Шаг 5: Проверка решения
Подставим (x = 3) в изначальное уравнение:
Левая часть:
[
\sqrt{3+13} - \sqrt{3+1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2
]
Правая часть:
[
2
]
Левая часть равна правой, значит, (x = 3) — верное решение.
Ответ: (x = 3).
