Для того чтобы выяснить, верно ли данное равенство, рассмотрим предел:
[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 \ln(1 + \frac{1}{n})}{n \ln(n + 1)}
]
Шаг 1: Упростим выражение внутри логарифма
Рассмотрим (\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)) при (n \to \infty). Для этого используем приближение (\ln(1 + x) \approx x) для малых (x).
[
\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx \frac{1}{n}
]
Шаг 2: Подставим приближение в предел
[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 \cdot \frac{1}{n}}{n \ln(n+1)}
= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n \ln(n+1)}
= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)}
]
Шаг 3: Исследуем поведение ( \ln(n+1) ) при ( n \to \infty )
Как ( n \to \infty ), (\ln(n+1) \to \infty).
Шаг 4: Найдем предел окончательно
[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0
]
Таким образом, предел равен 0, а не 1. Следовательно, равенство неверно.
