Верно ли это равенство?

Для того чтобы выяснить, верно ли данное равенство, рассмотрим предел:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 \ln(1 + \frac{1}{n})}{n \ln(n + 1)} \]

Шаг 1: Упростим выражение внутри логарифма

Рассмотрим \(\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)\) при \(n \to \infty\). Для этого используем приближение \(\ln(1 + x) \approx x\) для малых \(x\).

\[ \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx \frac{1}{n} \]

Шаг 2: Подставим приближение в предел

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 \cdot \frac{1}{n}}{n \ln(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n \ln(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)} \]

Шаг 3: Исследуем поведение \( \ln(n+1) \) при \( n \to \infty \)

Как \( n \to \infty \), \(\ln(n+1) \to \infty\).

Шаг 4: Найдем предел окончательно

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0 \]

Таким образом, предел равен 0, а не 1. Следовательно, равенство неверно.