Реши

Для решения неравенства \[ \frac{25x^2 - 10x + 1}{5x^2 + 9x - 2} \leq 0 \] нужно выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найдем нули числителя. Нули числителя даёт уравнение: \[ 25x^2 - 10x + 1 = 0 \] Используем дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0 \] Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-10)}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \] ### Шаг 2: Найдем нули знаменателя. Нули знаменателя определяются уравнением: \[ 5x^2 + 9x - 2 = 0 \] Ищем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 \] Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{10} \] \[ x_1 = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] \[ x_2 = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2 \] ### Шаг 3: Определяем знаки на интервалах. Корни, которые мы нашли: \(-2\), \(\frac{1}{5}\). Размещаем точки на числовой оси и смотрим, где функция меняет знак: - Интервал \((-\infty, -2)\): Подставляем \(x = -3\) в дробь, чтобы узнать знак. - Интервал \((-2, \frac{1}{5})\): Подставляем \(x = 0\). - Интервал \((\frac{1}{5}, \infty)\): Подставляем \(x = 1\). Знаки на интервалах можно определить как: - Для \((-\infty, -2)\) и \((\frac{1}{5}, \infty)\): знак дроби совпадает с знаком числителя (-). - Для \((-2, \frac{1}{5})\): знак дроби противоположен знаку в числителе (+). ### Шаг 4: Определим решение неравенства. Неравенство \(\leq 0\) выполняется на отрезках, где функция отрицательна или равна нулю: - \((-\infty, -2)\] - \[\frac{1}{5}\] Точка \(-2\) не входит в решение, так как в знаменателе происходит обнуление (асимптота). ### Ответ: \[ x \in (-\infty, -2) \cup \left\{\frac{1}{5}\right\} \]