реши

Для решения неравенства

\[ \frac{25x^2 - 10x + 1}{5x^2 + 9x - 2} \leq 0 \]

нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем нули числителя.

Нули числителя даёт уравнение: \[ 25x^2 - 10x + 1 = 0 \]

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0 \]

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-10)}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \]

Шаг 2: Найдем нули знаменателя.

Нули знаменателя определяются уравнением: \[ 5x^2 + 9x - 2 = 0 \]

Ищем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 \]

Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{10} \] \[ x_1 = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] \[ x_2 = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2 \]

Шаг 3: Определяем знаки на интервалах.

Корни, которые мы нашли: \(-2\), \(\frac{1}{5}\).

Размещаем точки на числовой оси и смотрим, где функция меняет знак:

• Интервал \((-\infty, -2)\): Подставляем \(x = -3\) в дробь, чтобы узнать знак.
• Интервал \((-2, \frac{1}{5})\): Подставляем \(x = 0\).
• Интервал \((\frac{1}{5}, \infty)\): Подставляем \(x = 1\).

Знаки на интервалах можно определить как:

• Для \((-\infty, -2)\) и \((\frac{1}{5}, \infty)\): знак дроби совпадает с знаком числителя (-).
• Для \((-2, \frac{1}{5})\): знак дроби противоположен знаку в числителе (+).

Шаг 4: Определим решение неравенства.

Неравенство \(\leq 0\) выполняется на отрезках, где функция отрицательна или равна нулю:

• \((-\infty, -2)\] - \[\frac{1}{5}\] Точка \(-2\) не входит в решение, так как в знаменателе происходит обнуление (асимптота).

Ответ:

\[ x \in (-\infty, -2) \cup \left\{\frac{1}{5}\right\} \]