На соревнованиях робот половину пути проехал в скоростном режиме А 3 м/мин, половину оставшегося времени в режиме Б 4 м/мин, а последний участок в режиме В 5 м/мин. Чему равна средняя скорость робота на всем пути? Ответ выразить м /мин

Рассмотрим задачу. Обозначим весь путь как \(S\). Пусть \(t\) — общее время, за которое робот проехал весь путь. Разделим путь на три части: - Первая часть — путь, пройденный в режиме А со скоростью \(v_A = 3\) м/мин. - Вторая часть — путь, пройденный в режиме Б со скоростью \(v_B = 4\) м/мин. - Третья часть — путь, пройденный в режиме В со скоростью \(vВ = 5\) м/мин. Обозначим: - \(S_A\) — длина первого участка, - \(S_B\) — длина второго участка, - \(S_В\) — длина третьего участка. Обозначим: - \(t_A\) — время в режиме А, - \(t_B\) — время в режиме Б, - \(t_В\) — время в режиме В. Также известно: - Первая половина пути — это \(S/2\), ею проехали в режиме А, - Вторая половина — это также \(S/2\). Но в условии сказано: "Половину пути в скоростном режиме А, половину оставшегося времени в режиме Б, и последний участок в режиме В". Значит, последовательность такова: 1. Первый участок — половина пути (\(S/2\)) — в режиме А 2. Вторая часть — оставшееся время (то есть половина общего времени) — в режиме Б 3. Последний участок — оставшийся путь — в режиме В Чтобы найти среднюю скорость, нужно определить сумму всех пройденных участков и общее время. --- ### Шаг 1: Пути и время на каждом участке - Первый участок: \(S_1 = S/2\), скорость \(v_A = 3\) \[ t_A = \frac{S/2}{3} = \frac{S}{6} \] - Второй участок — по условию, "половина оставшегося времени" — это \(\frac{t}{2}\), и в этом промежутке робот движется со скоростью \(v_B = 4\). Обозначим: \(t_{ост} = t - t_A \) — оставшееся время после первого участка. Но в условии "половину оставшегося времени" — это половина общего времени. Значит: \[ t_B = \frac{t}{2} \] Тогда оставшееся время — это \(t/2\). Общая сумма всех времен: \[ t_A + t_B + t_{В} = t \] С учетом, что: \[ t_A = \frac{S/2}{3} \] \[ t_B = \frac{t}{2} \] Путь, пройденный во втором участке: \[ S_B = v_B \times t_B = 4 \times \frac{t}{2} = 2t \] --- ### Шаг 2: Общий путь и время Общий путь: \[ S = S_1 + S_2 + S_3 \] - Первый участок: \[ S_1 = \frac{S}{2} \] - Второй участок: \[ S_2 = 2t \] - Третий участок — оставшийся путь \(S_3\), пройденный в режиме В со скоростью 5 м/мин, за время \(t_V\). Общее время: \[ t = t_A + t_B + t_{В} \] Но время, за которое прошли оставшуюся часть пути в режиме В — обозначим \(t_{В}\): \[ S_3 = v_В \times t_{В} = 5 t_{В} \] Общая сумма пути: \[ S = \frac{S}{2} + 2t + 5 t_{В} \] Также из выражения времени: \[ t = t_A + t_B + t_{В} \] Подставим \(t_A = \frac{S/2}{3} = \frac{S}{6}\), и \(t_B = t/2\): \[ t = \frac{S}{6} + \frac{t}{2} + t_{В} \] Но \(t_{В} = \) время на последнем участке. --- ### Шаг 3: Выразим \(S\) через \(t\) Из выражения для \(S_2\): \[ S_2 = 2 t \] Из выражения для \(S_1 = S/2\). Общее расстояние: \[ S = S/2 + 2t + 5 t_{В} \] Общая сумма времени: \[ t = \frac{S}{6} + \frac{t}{2} + t_{В} \] Перепишем это уравнение: \[ t - \frac{t}{2} = \frac{S}{6} + t_{В} \] \[ \frac{t}{2} = \frac{S}{6} + t_{В} \] Между тем \(t_{В} = \frac{S_3}{5}\). Но \(S_3\) — это весь оставшийся путь после второго участка: \[ S_3 = S - (S_1 + S_2) \] \[ S_3 = S - \frac{S}{2} - 2 t \] \[ S_3 = \frac{S}{2} - 2 t \] А \(t_{В} = \frac{S_3}{5}\): \[ t_{В} = \frac{\frac{S}{2} - 2 t}{5} \] Подставим это в выражение: \[ \frac{t}{2} = \frac{S}{6} + \frac{\frac{S}{2} - 2 t}{5} \] Приведем к общему знаменателю (30): \[ \frac{15 t}{30} = \frac{5 S}{30} + \frac{6 (\frac{S}{2} - 2 t)}{30} \] \[ 15 t = 5 S + 6 \times \left(\frac{S}{2} - 2 t\right) \] Раскроем скобки: \[ 15 t = 5 S + 6 \times \frac{S}{2} - 6 \times 2 t \] \[ 15 t = 5 S + 3 S - 12 t \] Объединим подобные: \[ 15 t + 12 t = 8 S \] \[ 27 t = 8 S \] Теперь выразим \(S\): \[ S = \frac{27}{8} t \] --- ### Шаг 4: Найти среднюю скорость Средняя скорость: \[ V_{ср} = \frac{Общий \ дальней \ путь}{Общее \ время} = \frac{S}{t} \] Подставим: \[ V_{ср} = \frac{\frac{27}{8} t}{t} = \frac{27}{8} \] Ответ: \[ \boxed{ V_{ср} = \frac{27}{8} \text{ м/мин} } \] или в десятичном виде: \[ V_{ср} = 3,375 \text{ м/мин} \] --- ## Итог: **Средняя скорость робота на всем пути равна \(\boxed{\frac{27}{8}}\) м/мин.**