В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2 /5 высоты. Объём жидкости равен 32 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах

Решим задачу пошагово.

Дано:

• Высота уровня жидкости — \(\frac{2}{5}\) от полной высоты сосуда.
• Объём жидкости — \(32 \text{ мл}\).
• Форма сосуда — конус.

Необходимо найти полный объём сосуда \(V_{сосуда}\).

Шаг 1: Обозначения и формулы

Обозначим:

• Высоту сосуда — \(H\),
• Радиус основания сосуда — \(R\),
• Высоту жидкости — \(h_{жидкости} = \frac{2}{5}H\),
• Радиус уровня жидкости — \(r\).

Объём конуса с высотой \(H\) и радиусом основания \(R\): \[ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \]

Объём жидкости, занимающей часть конуса высотой \(h_{жидкости}\), где радиус уровня жидкости равен \(r\): \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{жидкости} \]

Шаг 2: Связь между радиусом и высотой у части конуса

В полном конусе радиус пропорционален высоте: \[ r = R \times \frac{h_{жидкости}}{H} = R \times \frac{2/5\,H}{H} = R \times \frac{2}{5} \]

Потому что радиус у уровня жидкости пропорционален её высоте.

Шаг 3: Выражение объёма жидкости через \(R\) и \(H\)

Подставим \(r = \frac{2}{5} R\): \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{2}{5} R\right)^2 \times \frac{2}{5} H \]

Раскроем скобки: \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \times \frac{4}{25} R^2 \times \frac{2}{5} H \]

Перемножим числители и знаменатели: \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \times \frac{4 \times 2}{25 \times 5} R^2 H \]

\[ V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \times \frac{8}{125} R^2 H \]

Итог: \[ V_{жидкости} = \frac{8}{375} \pi R^2 H \]

Шаг 4: Используем данные для нахождения \(R^2 H\)

Из условия, что объем жидкости равен 32 мл: \[ V_{жидкости} = 32 \text{ мл} \] При этом, \[ V_{жидкости} = \frac{8}{375} \pi R^2 H \]

Запишем: \[ 32 = \frac{8}{375} \pi R^2 H \]

Найдем \(R^2 H\): \[ R^2 H = \frac{32 \times 375}{8 \pi} \]

Упростим: \[ R^2 H = \frac{32 \times 375}{8 \pi} = \frac{32}{8} \times \frac{375}{\pi} = 4 \times \frac{375}{\pi} \]

\[ R^2 H = \frac{1500}{\pi} \]

Шаг 5: Полный объём сосуда

Полный объём: \[ V_{сосуда} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \]

Подставим \(R^2 H = \frac{1500}{\pi}\): \[ V_{сосуда} = \frac{1}{3} \pi \times \frac{1500}{\pi} = \frac{1}{3} \times 1500 = 500 \]

Ответ:

Объём сосуда равен 500 мл.

Если что-то осталось непонятным или нужны дополнительные пояснения — спрашивайте!