В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 2 /5 высоты. Объём жидкости равен 32 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах

Решим задачу пошагово. **Дано:** - Высота уровня жидкости — \(\frac{2}{5}\) от полной высоты сосуда. - Объём жидкости — \(32 \text{ мл}\). - Форма сосуда — конус. Необходимо найти полный объём сосуда \(V_{сосуда}\). --- ### Шаг 1: Обозначения и формулы Обозначим: - Высоту сосуда — \(H\), - Радиус основания сосуда — \(R\), - Высоту жидкости — \(h_{жидкости} = \frac{2}{5}H\), - Радиус уровня жидкости — \(r\). Объём конуса с высотой \(H\) и радиусом основания \(R\): \[ V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \] Объём жидкости, занимающей часть конуса высотой \(h_{жидкости}\), где радиус уровня жидкости равен \(r\): \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{жидкости} \] --- ### Шаг 2: Связь между радиусом и высотой у части конуса В полном конусе радиус пропорционален высоте: \[ r = R \times \frac{h_{жидкости}}{H} = R \times \frac{2/5\,H}{H} = R \times \frac{2}{5} \] Потому что радиус у уровня жидкости пропорционален её высоте. --- ### Шаг 3: Выражение объёма жидкости через \(R\) и \(H\) Подставим \(r = \frac{2}{5} R\): \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{2}{5} R\right)^2 \times \frac{2}{5} H \] Раскроем скобки: \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \times \frac{4}{25} R^2 \times \frac{2}{5} H \] Перемножим числители и знаменатели: \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \times \frac{4 \times 2}{25 \times 5} R^2 H \] \[ V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \times \frac{8}{125} R^2 H \] Итог: \[ V_{жидкости} = \frac{8}{375} \pi R^2 H \] --- ### Шаг 4: Используем данные для нахождения \(R^2 H\) Из условия, что объем жидкости равен 32 мл: \[ V_{жидкости} = 32 \text{ мл} \] При этом, \[ V_{жидкости} = \frac{8}{375} \pi R^2 H \] Запишем: \[ 32 = \frac{8}{375} \pi R^2 H \] Найдем \(R^2 H\): \[ R^2 H = \frac{32 \times 375}{8 \pi} \] Упростим: \[ R^2 H = \frac{32 \times 375}{8 \pi} = \frac{32}{8} \times \frac{375}{\pi} = 4 \times \frac{375}{\pi} \] \[ R^2 H = \frac{1500}{\pi} \] --- ### Шаг 5: Полный объём сосуда Полный объём: \[ V_{сосуда} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \] Подставим \(R^2 H = \frac{1500}{\pi}\): \[ V_{сосуда} = \frac{1}{3} \pi \times \frac{1500}{\pi} = \frac{1}{3} \times 1500 = 500 \] --- ### **Ответ:** Объём сосуда равен **500 мл**. --- Если что-то осталось непонятным или нужны дополнительные пояснения — спрашивайте!