Реши неравенство 4x^2-18x<0

Рассмотрим неравенство: \[4x^2 - 18x < 0\] --- ### Шаг 1: Вынесем общий множитель за скобки (если возможно). В данном случае, оба слагаемых делятся на 2: \[2(2x^2 - 9x) < 0\] Но для удобства лучше оставить исходный вид, так как затем мы вынесем общий множитель, чтобы найти корни. --- ### Шаг 2: Упростим неравенство или решим его путем нахождения корней соответствующего уравнения. Рассмотрим уравнение: \[4x^2 - 18x = 0\] Это связано с тем, что неравенство \(4x^2 - 18x < 0\) меняет знак при прохождении через корни уравнения \(4x^2 - 18x = 0\). --- ### Шаг 3: Решим уравнение: \[4x^2 - 18x = 0\] Вынесем за скобки общий множитель: \[2x(2x - 9) = 0\] Теперь решим произведение равное нулю: \[2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x=0\] \[2x - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{9}{2}\] **Корни:** \[x=0\] и \[x=\frac{9}{2}\] --- ### Шаг 4: Анализируем знак многочлена между корнями и вне них. Функция: \[f(x) = 4x^2 - 18x\] Это парабола, которая идет вверх (коэффициент при \(x^2\) положительный), и ее корни — это точки, где она равна нулю. Рассмотрим промежутки, делённые корнями: - \((-\infty, 0)\) - \((0, \frac{9}{2})\) - \((\frac{9}{2}, +\infty)\) --- ### Шаг 5: Определим знак функции \(f(x)\) на каждом интервале. Возьмем тестовые точки: - \(x = -1\) (для \((-\infty, 0)\)) - \(x=1\) (для \((0, \frac{9}{2})\)) - \(x=5\) (для \((\frac{9}{2}, +\infty)\)) Подставим в уравнение: 1. \(x = -1\): \[f(-1)=4(-1)^2 - 18(-1)=4(1)+18=4+18=22 > 0\] **Значит, функция положительна на интервале \((-\infty, 0)\).** 2. \(x=1\): \[f(1)=4(1)^2 - 18(1)=4 - 18 = -14 < 0\] **Функция отрицательна на интервале \((0, \frac{9}{2})\).** 3. \(x=5\): \[f(5)=4(25) - 18(5)=100 - 90=10 > 0\] **Функция положительна на интервале \((\frac{9}{2}, +\infty)\).** --- ### Шаг 6: Итог: Нас интересуют точки, где \(f(x) < 0\), то есть — где многочлен отрицателен. Это происходит на промежутке: \[ (0, \frac{9}{2}) \] --- ### Ответ: \[ \boxed{ x \in (0, \frac{9}{2}) } \]