реши неравенство 4x^2-18x<0
Рассмотрим неравенство:
\[4x^2 - 18x < 0\]
Шаг 1: Вынесем общий множитель за скобки (если возможно).
В данном случае, оба слагаемых делятся на 2:
\[2(2x^2 - 9x) < 0\]
Но для удобства лучше оставить исходный вид, так как затем мы вынесем общий множитель, чтобы найти корни.
Шаг 2: Упростим неравенство или решим его путем нахождения корней соответствующего уравнения.
Рассмотрим уравнение:
\[4x^2 - 18x = 0\]
Это связано с тем, что неравенство \(4x^2 - 18x < 0\) меняет знак при прохождении через корни уравнения \(4x^2 - 18x = 0\).
Шаг 3: Решим уравнение:
\[4x^2 - 18x = 0\]
Вынесем за скобки общий множитель:
\[2x(2x - 9) = 0\]
Теперь решим произведение равное нулю:
\[2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x=0\]
\[2x - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{9}{2}\]
Корни:
\[x=0\] и \[x=\frac{9}{2}\]
Шаг 4: Анализируем знак многочлена между корнями и вне них.
Функция:
\[f(x) = 4x^2 - 18x\]
Это парабола, которая идет вверх (коэффициент при \(x^2\) положительный), и ее корни — это точки, где она равна нулю.
Рассмотрим промежутки, делённые корнями:
- \((-\infty, 0)\)
- \((0, \frac{9}{2})\)
- \((\frac{9}{2}, +\infty)\)
Шаг 5: Определим знак функции \(f(x)\) на каждом интервале.
Возьмем тестовые точки:
- \(x = -1\) (для \((-\infty, 0)\))
- \(x=1\) (для \((0, \frac{9}{2})\))
- \(x=5\) (для \((\frac{9}{2}, +\infty)\))
Подставим в уравнение:
\(x = -1\):
\[f(-1)=4(-1)^2 - 18(-1)=4(1)+18=4+18=22 > 0\]
Значит, функция положительна на интервале \((-\infty, 0)\).\(x=1\):
\[f(1)=4(1)^2 - 18(1)=4 - 18 = -14 < 0\]
Функция отрицательна на интервале \((0, \frac{9}{2})\).\(x=5\):
\[f(5)=4(25) - 18(5)=100 - 90=10 > 0\]
Функция положительна на интервале \((\frac{9}{2}, +\infty)\).
Шаг 6: Итог:
Нас интересуют точки, где \(f(x) < 0\), то есть — где многочлен отрицателен.
Это происходит на промежутке:
\[ (0, \frac{9}{2}) \]
Ответ:
\[ \boxed{ x \in (0, \frac{9}{2}) } \]
