Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 9. Какова вероятность того, что для этого потребовалось ровно два броска? Ответ округлите до…

Рассмотрим процесс: мы бросаем игральную кость несколько раз, пока сумма выпавших очков не превысит 9. Нам нужно найти вероятность того, что для достижения этого условия потребовалось ровно два броска.

Обозначим:

• \( S_k \) — сумма очков после \( k \)-го броска.
• Нас интересует вероятность события, при котором \( S_1 \leq 9 \), а \( S_2 > 9 \).

Но условие говори, что на первом броске сумма не превышает 9 — это гарантировано, ведь первый бросок определяется только как сумма после 1-го броска, и она вроде бы всегда равна результату первого броска (число от 1 до 6), которое по определению не превышает 9. Это тривиально — сумма после первого броска всегда от 1 до 6, то есть не превышает 9.

Переходим к условию второго броска. После первого броска сумма — число \( x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Тогда для второго броска мы бросаем новую кость, и сумма становится \( x + y \), где \( y \) — результат второго броска (также от 1 до 6).

Для того, чтобы процесс завершился на втором броске, необходимо, чтобы сумма после второго броска превысила 9: \[ x + y > 9. \]

Этот неравенство возможно только в случае, когда: \[ x + y \in \{10, 11, 12\}, \] то есть: \[ x + y = 10, 11, 12. \]

Рассмотрим каждый возможный \( x \):

• Если \( x = 1 \), то \( y \) должно быть таково, чтобы \( 1 + y > 9 \Rightarrow y > 8 \). Поскольку \( y \leq 6 \), такого \( y \) не существует. Значит, для \( x=1 \) шанс равен 0.

• Если \( x=2 \), то \( y > 7 \) — невозможно, так как максимум \( y = 6 \). Шанс равен 0.

• Если \( x=3 \), то \( y > 6 \), невозможно, \( y \leq 6 \), шанс равен 0.

• Если \( x=4 \), то \( 4 + y > 9 \Rightarrow y > 5 \). Значит \( y = 6 \).

• Если \( x=5 \), то \( 5 + y > 9 \Rightarrow y > 4 \). Тогда \( y = 5, 6 \).

• Если \( x=6 \), то \( 6 + y > 9 \Rightarrow y > 3 \). Тогда \( y = 4, 5, 6 \).

Теперь посчитаем вероятность:

Вероятность, что на первом броске выпало какое-либо число \( x \): \[ P(X = x) = \frac{1}{6}. \] Условная вероятность для второго броска, что сумма превысит 9, при данном \( x \):

• Для \( x=4 \): \( y=6 \), вероятность \(\frac{1}{6}\);
• Для \( x=5 \): \( y=5 \) или \( 6 \), вероятность \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \);
• Для \( x=6 \): \( y=4, 5, 6 \), вероятность \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

Общая вероятность, что сумма превышает 9 после второго броска, равна: \[ \sum_{x=4}^6 P(\text{Первый результат} = x) \times P(\text{Второй результат} попадает в нужный диапазон} | x). \]

Т.е.: \[ \boxed{ \frac{1}{6} \times 0 + \frac{1}{6} \times 0 + \frac{1}{6} \times 0 + \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \times \frac{2}{6} + \frac{1}{6} \times \frac{3}{6} } \] Извините, я заметил ошибку: я неправильно записал вероятности. Исправим.

Общий расчет:

• Для \( x=4 \): \[ P = \frac{1}{6} \times P(y=6) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \]

• Для \( x=5 \): \[ P = \frac{1}{6} \times P(y=5 \text{ или }6) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \]

• Для \( x=6 \): \[ P = \frac{1}{6} \times P(y=4,5,6) = \frac{1}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \]

Суммируем: \[ \frac{1}{36} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}. \]

Приведем к общему знаменателю 36: \[ \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}. \]

Ответ: вероятность ровно двух бросков — это \(\boxed{\frac{1}{6}}\).

Переводя в десятичное число и округляя до тысячных: \[ \frac{1}{6} \approx 0.167. \]

Итак, окончательный ответ: \(\boxed{0.167}\).