Задумали трехзначное число, которое делится на 7 и последни цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же понфрами в обратном порядже. Получили…

Давайте разберём задачу подробно.

Дано:

• Есть трехзначное число \( ABC \) (где \( A \), \( B \), \( C \) — цифры числа, \( A \neq 0 \)).
• Оно делится на 7.
• Его последняя цифра \( C \) не равна 0 (\( C \neq 0 \)).
• Из этого числа вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то есть \( CBA \).
• В результате получилась число 792.

Задача: найти исходное число \( ABC \).

---

Шаг 1: Запишем числа в алгебраической форме

• Исходное число:
  \[ N_1 = 100A + 10B + C \]

• Обратное число:
  \[ N_2 = 100C + 10B + A \]

По условию:
\[ N_1 - N_2 = 792 \]

Подставим выражения:
\[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 792 \]

---

Шаг 2: Упростим разность

Вычитаем подробно:
\[ 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 792 \]

Обратите внимание, что \( 10B \) и \( -10B \) сократятся:

\[ 100A - A + C - 100C = 792 \] \[ (100A - A) + (C - 100C) = 792 \] \[ 99A - 99C = 792 \]

Вынесем 99 за скобки:
\[ 99(A - C) = 792 \] \[ A - C = \frac{792}{99} = 8 \]

Ответ: \[ A - C = 8 \]

---

Шаг 3: Учтём, что число делится на 7 и \( C \neq 0 \)

Также, исходное число делится на 7, и \( C \neq 0 \). Цифры \( A \), \( C \) — цифры от 1 до 9.

Поскольку \( A - C = 8 \), возможные комбинации:
\[ A = C + 8 \] чего не может быть, если \( C \geq 1 \), так как \( A \leq 9 \) (число — трехзначное).

Рассмотрим возможные значения \( C \):

• \( C = 1 \Rightarrow A = 9 \)
• \( C = 2 \Rightarrow A = 10 \) — невозможно, так как цифра не может быть больше 9
• Для большей \( C \), \( A \) превышает 9, что недопустимо.

Значит, единственное подходящее значение:

\[ C = 1, \quad A = 9 \]

---

Шаг 4: Найдём число \( N_1 \)

Теперь \( N_1 = 100A + 10B + C \):

\[ N_1 = 100 \times 9 + 10B + 1 = 900 + 10B + 1 = 901 + 10B \]

• \( B \) — цифра от 0 до 9.

Обратное число:

\[ N_2 = 100C + 10B + A = 100 \times 1 + 10B + 9 = 100 + 10B + 9 = 109 + 10B \]

Разность:

\[ N_1 - N_2 = (901 + 10B) - (109 + 10B) = 792 \]

Это совпадает с нашим условием, так как разность равна 792, независимо от \( B \).

Проверим делимость \( N_1 \):

\[ N_1 = 901 + 10B \]

Где \( B \) — от 0 до 9.

---

Шаг 5: Проверим делимость \( N_1 \) на 7

Подставим возможные значения \( B \):

\[ N_1 = 901 + 10B \]

Нужно, чтобы \( N_1 \) делилось на 7.

Проверим делимость для каждого \( B \):

• \( B=0 \Rightarrow N_1=901 \rightarrow 901 \div 7 \) — проверить делимость.
• Для \( B=1 \Rightarrow N_1=911 \)
• Для \( B=2 \Rightarrow N_1=921 \)
• и так далее.

Выражение для делимости на 7:
\[ 901 + 10B \equiv 0 \pmod{7} \]

Найдём остаток от деления:

• \( 901 \div 7 \):

  \( 7 \times 128 = 896 \), остаток \( 901 - 896 = 5 \).
  Значит, \( 901 \equiv 5 \pmod{7} \).

• \( 10B \pmod{7} \):

  \( 10 \equiv 3 \pmod{7} \), так что:

  \[ 10B \equiv 3B \pmod{7} \]

Итак, уравнение для делимости:

\[ 5 + 3B \equiv 0 \pmod{7} \]

Решим это:

\[ 3B \equiv -5 \equiv 2 \pmod{7} \]

(так как \( -5 \mod 7 = 2 \), потому что \( -5 + 7 = 2 \))

Теперь, нужно найти \( B \), такое что:

\[ 3B \equiv 2 \pmod{7} \]

Обратим внимание, что:

\[ 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7} \]

Значит, для решения уравнения:

\[ B \equiv 2 \times 5 \equiv 10 \equiv 3 \pmod{7} \]

Так как \( B \) — цифра от 0 до 9, подходящее значение:
\[ B = 3 \]

---

Ответ:

Значит, искомое число:

\[ N_1 = 901 + 10 \times 3 = 901 + 30 = \boxed{931} \]

Проверим:

• Делится ли 931 на 7?

\( 7 \times 133 = 931 \)

Да! Хорошо.

---

Конечный ответ:

Загаданное число — 931.