Задумали трехзначное число, которое делится на 7 и последни цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же понфрами в обратном порядже. Получили число 792. Какое число было залумано?

Давайте разберём задачу подробно. **Дано:** - Есть трехзначное число \( ABC \) (где \( A \), \( B \), \( C \) — цифры числа, \( A \neq 0 \)). - Оно делится на 7. - Его последняя цифра \( C \) не равна 0 (\( C \neq 0 \)). - Из этого числа вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то есть \( CBA \). - В результате получилась число 792. Задача: найти исходное число \( ABC \). --- ### Шаг 1: Запишем числа в алгебраической форме - Исходное число: \[ N_1 = 100A + 10B + C \] - Обратное число: \[ N_2 = 100C + 10B + A \] По условию: \[ N_1 - N_2 = 792 \] Подставим выражения: \[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 792 \] --- ### Шаг 2: Упростим разность Вычитаем подробно: \[ 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 792 \] Обратите внимание, что \( 10B \) и \( -10B \) сократятся: \[ 100A - A + C - 100C = 792 \] \[ (100A - A) + (C - 100C) = 792 \] \[ 99A - 99C = 792 \] Вынесем 99 за скобки: \[ 99(A - C) = 792 \] \[ A - C = \frac{792}{99} = 8 \] **Ответ:** \[ A - C = 8 \] --- ### Шаг 3: Учтём, что число делится на 7 и \( C \neq 0 \) Также, исходное число делится на 7, и \( C \neq 0 \). Цифры \( A \), \( C \) — цифры от 1 до 9. Поскольку \( A - C = 8 \), возможные комбинации: \[ A = C + 8 \] чего не может быть, если \( C \geq 1 \), так как \( A \leq 9 \) (число — трехзначное). Рассмотрим возможные значения \( C \): - \( C = 1 \Rightarrow A = 9 \) - \( C = 2 \Rightarrow A = 10 \) — невозможно, так как цифра не может быть больше 9 - Для большей \( C \), \( A \) превышает 9, что недопустимо. Значит, единственное подходящее значение: \[ C = 1, \quad A = 9 \] --- ### Шаг 4: Найдём число \( N_1 \) Теперь \( N_1 = 100A + 10B + C \): \[ N_1 = 100 \times 9 + 10B + 1 = 900 + 10B + 1 = 901 + 10B \] - \( B \) — цифра от 0 до 9. Обратное число: \[ N_2 = 100C + 10B + A = 100 \times 1 + 10B + 9 = 100 + 10B + 9 = 109 + 10B \] Разность: \[ N_1 - N_2 = (901 + 10B) - (109 + 10B) = 792 \] Это совпадает с нашим условием, так как разность равна 792, независимо от \( B \). Проверим делимость \( N_1 \): \[ N_1 = 901 + 10B \] Где \( B \) — от 0 до 9. --- ### Шаг 5: Проверим делимость \( N_1 \) на 7 Подставим возможные значения \( B \): \[ N_1 = 901 + 10B \] Нужно, чтобы \( N_1 \) делилось на 7. Проверим делимость для каждого \( B \): - \( B=0 \Rightarrow N_1=901 \rightarrow 901 \div 7 \) — проверить делимость. - Для \( B=1 \Rightarrow N_1=911 \) - Для \( B=2 \Rightarrow N_1=921 \) - и так далее. Выражение для делимости на 7: \[ 901 + 10B \equiv 0 \pmod{7} \] Найдём остаток от деления: - \( 901 \div 7 \): \( 7 \times 128 = 896 \), остаток \( 901 - 896 = 5 \). Значит, \( 901 \equiv 5 \pmod{7} \). - \( 10B \pmod{7} \): \( 10 \equiv 3 \pmod{7} \), так что: \[ 10B \equiv 3B \pmod{7} \] Итак, уравнение для делимости: \[ 5 + 3B \equiv 0 \pmod{7} \] Решим это: \[ 3B \equiv -5 \equiv 2 \pmod{7} \] (так как \( -5 \mod 7 = 2 \), потому что \( -5 + 7 = 2 \)) Теперь, нужно найти \( B \), такое что: \[ 3B \equiv 2 \pmod{7} \] Обратим внимание, что: \[ 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7} \] Значит, для решения уравнения: \[ B \equiv 2 \times 5 \equiv 10 \equiv 3 \pmod{7} \] Так как \( B \) — цифра от 0 до 9, подходящее значение: \[ B = 3 \] --- ### **Ответ:** Значит, искомое число: \[ N_1 = 901 + 10 \times 3 = 901 + 30 = \boxed{931} \] Проверим: - Делится ли 931 на 7? \( 7 \times 133 = 931 \) Да! Хорошо. --- ### **Конечный ответ:** **Загаданное число — 931.**