Прорешать не менее 10 ти заданий на фипи егэ,профильный уровень,раздел математический анализ

Конечно! Ниже я подготовил 10 типичных заданий по разделу "Математический анализ" профиля ЕГЭ, раздел "ФИПИ", с подробными решениями и объяснениями. Они охватывают основные темы — пределы, производные, правило дифференцирования, экстремумы, графики функций, интегралы. Все решения адаптированы для понимания и помогают подготовиться к экзамену. --- ### Задача 1. Предел функции **Задача:** Найти \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\). **Решение:** 1. Подставим \(x=2\): \(\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}\) — неопределенность, требуется упростить. 2. Раскроем числитель: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] 3. Тогда выражение преобразуется: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \] 4. При \(x \neq 2\) можно сократить: \[ x + 2 \] 5. Теперь предел — это \(\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\). **Ответ:** \(\boxed{4}\) --- ### Задача 2. Производная и точка экстремума **Задача:** Найти производную функции \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 5\). Определить точки экстремума. **Решение:** 1. Найдём первую производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 \] 2. Для поиска критических точек решим уравнение \(f'(x) = 0\): \[ 3x^2 - 12x + 12 = 0 \] 3. Делим всё на 3: \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \] 4. Решаем квадратное уравнение: \[ (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] 5. Значит, есть одна критическая точка \(x=2\). Определим её тип (минимум или максимум) по второй производной: \[ f''(x) = 6x - 12 \] 6. Вычислим: \[ f''(2) = 6*2 - 12 = 12 - 12 = 0 \] 7. Значение второй производной равна нулю — тест не даёт ответа. Тогда проверим знак первой производной слева и справа от 2: - Для \(x<2\), допустим, \(x=1.9\): \[ f'(1.9) = 3(1.9)^2 - 12(1.9) + 12 \approx 3*3.61 - 22.8 + 12 = 10.83 - 22.8 + 12 = 0.03 > 0 \] - Для \(x>2\), скажем, \(x=2.1\): \[ f'(2.1) = 3*4.41 - 12*2.1 + 12 = 13.23 - 25.2 + 12 = 0.03 > 0 \] Знак первой производной слева и справа одинаков—функция возрастает. Следовательно, точка \(x=2\) — не локальный экстремум, а точка седлового вида или возможно выравнивается по графику. **Ответ:** Критическая точка в \(x=2\), экстремума не имеется. --- ### Задача 3. График функции и интервал возрастания/убывания **Задача:** Определить промежутки, где функция \(f(x) = x^3 - 3x\) возрастает или убывает. **Решение:** 1. Находим первую производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) \] 2. Критические точки: \(x=1\) и \(x=-1\). 3. Анализируем знак \(f'(x)\): - для \(x < -1\): \(x-1<0\), \(x+1<0\), значит \((x-1)(x+1)>0\), следовательно, \(f'(x)>0\); - для \(-1 < x < 1\): \((x-1)<0\), \((x+1)>0\), значит знак произведения отрицательный, \(f'(x)<0\); - для \(x > 1\): оба множителя положительны, значит \(f'(x)>0\). 4. Итог: - функция возрастает на \((-\infty, -1)\) и \((1, +\infty)\); - убывает на \((-1, 1)\). **Ответ:** Возрастает на \((-\infty, -1)\) и \((1, +\infty)\); убывает — на \((-1, 1)\). --- ### Задача 4. Линейный приближение функци **Задача:** Найти приближение функции \(f(x)=\sqrt{x}\) вблизи точки \(x_0=4\) с помощью дифференциала. **Решение:** 1. \(f(x) = \sqrt{x}\), при \(x_0=4\): \(f(4)=2\). 2. Первая производная: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] 3. Значение в точке \(x_0=4\): \[ f'(4) = \frac{1}{2*2} = \frac{1}{4} \] 4. Приближение: \[ f(x) \approx f(4) + f'(4)(x - 4) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) \] **Ответ:** Приближение функции: \(\boxed{f(x) \approx 2 + \frac{1}{4}(x - 4)}\). --- ### Задача 5. Интеграл — вычисление площади **Задача:** Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(f(x) = x^2\), осью \(Ox\), и по ординате \(x=a=0\) и \(x=b=3\). **Решение:** Площадь: \[ S = \int_{0}^{3} x^2 dx \] Вычислим интеграл: \[ S= \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - 0 = \frac{27}{3} = 9 \] **Ответ:** \(\boxed{9}\). --- ### Задача 6. Найти стационарные точки функции и classify **Задача:** Функция \(f(x) = x^4 - 4x^2\). Найти её стационарные точки и определить характер (минимум, максимум или точка седловая). **Решение:** 1. Первая производная: \[ f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) \] 2. Критические точки: \[ 4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x=0,\quad x=\pm \sqrt{2} \] 3. Вторая производная: \[ f''(x) = 12x^2 - 8 \] 4. Анализируем каждую точку: - \(x=0\): \[ f''(0) = -8 < 0 \Rightarrow \text{максимум} \] - \(x=\pm \sqrt{2}\): \[ f''(\pm \sqrt{2})= 12 \cdot 2 - 8 = 24 - 8=16 > 0 \Rightarrow \text{минимумы} \] **Ответ:** - В точке \(x=0\) — локальный максимум. - В точках \(x= \pm \sqrt{2}\) — локальные минимумы. --- ### Задача 7. Предел и асимптота **Задача:** Определить вертикальную и горизонтальную асимптоту функции \(f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x - 1}\). **Решение:** 1. Горизонтальная асимптота при \(x \to \pm \infty\): - Делим числитель и знаменатель на \(x^2\): \[ f(x) = \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{\frac{x - 1}{x^2}} = \frac{2 + o(1)}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}} \to \infty \] или проще: Так как степень числителя — 2, а знаменателя — 1, то при \(x \to \pm \infty\): \[ f(x) \sim \frac{2x^2}{x} = 2x \to \pm \infty \] Следовательно, горизонтальной асимптоты нет. 2. Вертикальная асимптота — там, где знаменатель равен нулю: \(x=1\). - Проверяем поведение near \(x=1\): \[ f(x) \to \pm \infty \text{ при } x \to 1 \] **Ответ:** Вертикальная асимптота — \(x=1\). Горизонтальная отсутствует. --- ### Задача 8. Максимум функции на интервале **Задача:** Найти максимум функции \(f(x)=x^3 - 3x + 1\) на интервале \([-2,2]\). **Решение:** 1. Находим критические точки: \[ f'(x) = 3x^2 - 3= 3(x^2 - 1) \] 2. Решение: \[ x^2 - 1= 0 \Rightarrow x=\pm 1 \] 3. Проверим значеня функции в критических точках и концах интервала: - \(f(-2)=(-2)^3 - 3*(-2)+1 = -8 + 6 + 1= -1\) - \(f(-1)= -1 + 3 + 1= 3\) - \(f(1)=1 - 3 + 1= -1\) - \(f(2)=8 - 6 + 1= 3\) 4. Максимум: равен 3, достигается в точках \(x=-1\) и \(x=2\). **Ответ:** Максимум равен 3, достигается при \(x=-1\) и \(x=2\). --- ### Задача 9. Интеграл с переменной границей **Задача:** Вычислить площадь области, ограниченной графиками \(y=x^2\) и \(y=x+2\), в пределах их пересечения. **Решение:** 1. Найдём точки пересечения: \[ x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2= 0 \] \[ x=\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{1 \pm 3}{2} \] \[ x=2 \text{ или } x=-1 \] 2. Площадь: \[ S= \int_{-1}^{2} \left[(x+2) - x^2\right] dx \] 3. Вычислим: \[ \int_{-1}^{2} (x+2 - x^2) dx = \left[\frac{x^2}{2}+2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} \] 4. Подставим границы: - при \(x=2\): \[ \frac{4}{2} + 2*2 - \frac{8}{3} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18 - 8}{3} = \frac{10}{3} \] - при \(x=-1\): \[ \frac{1}{2} + 2*(-1) - \frac{-1}{3} = \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) - 2 = \left(\frac{3}{6} + \frac{2}{6}\right) - 2 = \frac{5}{6} - 2 = \frac{5}{6} - \frac{12}{6} = -\frac{7}{6} \] 5. Площадь равна разности: \[ \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} \] Общий знаменатель: 6, \[ \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \] **Ответ:** Площадь равна \(\boxed{\frac{9}{2}}\). --- ### Задача 10. Режим функции **Задача:** Определить, интервалы возрастания и убывания функции \(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\). **Решение:** 1. Находим первую производную: \[ f'(x)= \frac{(1)(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 + 1}{(x^2+1)^2} \] 2. Знаменатель всегда положителен, значит знаки определяют числитель: \[ f'(x)= 0 \Rightarrow -x^2 + 1= 0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x= \pm 1 \] 3. Анализ знаков: - для \(|x|<1\): \(-x^2 +1>0\): \(f'(x)>0\), функция возрастает на \((-1,1)\). - для \(|x|>1\): \(-x^2 +1 <0\), \(f'(x)<0\): функция убывает на \((-\infty,-1)\) и \((1,+\infty)\). **Ответ:** - Возрастает на \((-1,1)\). - Убывает — на \((-\infty,-1)\) и \((1,+\infty)\). --- Если нужно более сложные задания или есть конкретные вопросы по разделам — скажите, я подготовлю дополнительные решения!