Sin(2x - pi/4) =-1/2

Рассмотрим уравнение: \[ \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} \] Цель — понять и подробно решить это уравнение. --- ### Шаг 1. Построение общего решения для \(\sin \theta = -\frac{1}{2}\) Обозначим: \[ \theta = 2x - \frac{\pi}{4} \] Тогда уравнение становится: \[ \sin \theta = -\frac{1}{2} \] Известно, что: \[ \sin \varphi = -\frac{1}{2} \] имеет решения при: \[ \varphi = 7\pi/6 + 2k \pi \quad \text{и} \quad \varphi = 11\pi/6 + 2k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Это стандартные значения из тригонометрии, соответствующие синусу \(-\frac{1}{2}\). --- ### Шаг 2. Получение решений для \(\theta\) Поскольку \(\theta = 2x - \frac{\pi}{4}\), то: \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \] и \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \] Рассмотрим каждое отдельно. --- ### Шаг 3. Решение для каждого варианта **Первый вариант:** \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \] Добавим \(\frac{\pi}{4}\) к обеим частям: \[ 2x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k \pi \] Приведем к общему знаменателю 12: \[ 2x = \frac{14\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2k \pi = \frac{17\pi}{12} + 2k \pi \] Делим обе части на 2: \[ x = \frac{17\pi}{24} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] --- **Второй вариант:** \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \] Также прибавим \(\frac{\pi}{4}\): \[ 2x = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k \pi \] Общий знаменатель — 12: \[ 2x = \frac{22\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2k \pi = \frac{25\pi}{12} + 2k \pi \] Делим обе части на 2: \[ x = \frac{25\pi}{24} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x = \frac{17\pi}{24} + k \pi \quad \text{или} \quad x = \frac{25\pi}{24} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \] Это все решения исходного уравнения.