sin(2x - pi/4) =-1/2

Рассмотрим уравнение:

\[ \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} \]

Цель — понять и подробно решить это уравнение.

Шаг 1. Построение общего решения для \(\sin \theta = -\frac{1}{2}\)

Обозначим:
\[ \theta = 2x - \frac{\pi}{4} \]

Тогда уравнение становится:
\[ \sin \theta = -\frac{1}{2} \]

Известно, что:

\[ \sin \varphi = -\frac{1}{2} \]

имеет решения при:

\[ \varphi = 7\pi/6 + 2k \pi \quad \text{и} \quad \varphi = 11\pi/6 + 2k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Это стандартные значения из тригонометрии, соответствующие синусу \(-\frac{1}{2}\).

Шаг 2. Получение решений для \(\theta\)

Поскольку \(\theta = 2x - \frac{\pi}{4}\), то:

\[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \] и \[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \]

Рассмотрим каждое отдельно.

Шаг 3. Решение для каждого варианта

Первый вариант:

\[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \]

Добавим \(\frac{\pi}{4}\) к обеим частям:

\[ 2x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k \pi \]

Приведем к общему знаменателю 12:

\[ 2x = \frac{14\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2k \pi = \frac{17\pi}{12} + 2k \pi \]

Делим обе части на 2:

\[ x = \frac{17\pi}{24} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Второй вариант:

\[ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \]

Также прибавим \(\frac{\pi}{4}\):

\[ 2x = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k \pi \]

Общий знаменатель — 12:

\[ 2x = \frac{22\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2k \pi = \frac{25\pi}{12} + 2k \pi \]

Делим обе части на 2:

\[ x = \frac{25\pi}{24} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

\[ \boxed{ x = \frac{17\pi}{24} + k \pi \quad \text{или} \quad x = \frac{25\pi}{24} + k \pi, \quad k \in \mathbb{Z} } \]

Это все решения исходного уравнения.