реши

Для того чтобы определить значение параметра \(k\), при котором матрица \[ A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ k & 0 & 3 \\ -3 & -2 & 1 \end{pmatrix} \] будет вызывать нулевой определитель, необходимо найти детерминант этой матрицы и приравнять его к нулю.

Шаг 1. Вычислим детерминант матрицы \(A\):

\[ \det(A) = \begin{vmatrix} 4 & -2 & 0 \\ k & 0 & 3 \\ -3 & -2 & 1 \end{vmatrix} \]

Шаг 2. Раскроем детерминант по первой строке (или по любой удобной):

\[ \det(A) = 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - (-2) \cdot \begin{vmatrix} k & 3 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \text{(какой-то минор, не важен, так как умножается на 0)} \]

Шаг 3. Вычислим каждый малый детерминант:

Первый минор:

\[ \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1) - (3 \cdot -2) = 0 + 6 = 6 \]

Второй минор:

\[ \begin{vmatrix} k & 3 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = (k \cdot 1) - (3 \cdot -3) = k + 9 \]

Шаг 4. Подставляем обратно:

\[ \det(A) = 4 \cdot 6 - (-2) \cdot (k + 9) = 24 + 2(k + 9) = 24 + 2k + 18 = 42 + 2k \]

Шаг 5. Приравниваем к нулю:

\[ 42 + 2k = 0 \]

Решим уравнение:

\[ 2k = -42 \Rightarrow k = -21 \]

Ответ: \(\boxed{k = -21}\)