Для того чтобы определить значение параметра (k), при котором матрица
[
A = \begin{pmatrix}
4 & -2 & 0 \
k & 0 & 3 \
-3 & -2 & 1
\end{pmatrix}
]
будет вызывать нулевой определитель, необходимо найти детерминант этой матрицы и приравнять его к нулю.
Шаг 1. Вычислим детерминант матрицы (A):
[
\det(A) =
\begin{vmatrix}
4 & -2 & 0 \
k & 0 & 3 \
-3 & -2 & 1
\end{vmatrix}
]
Шаг 2. Раскроем детерминант по первой строке (или по любой удобной):
[
\det(A) = 4 \cdot
\begin{vmatrix}
0 & 3 \
-2 & 1
\end{vmatrix}
- (-2) \cdot
\begin{vmatrix}
k & 3 \
-3 & 1
\end{vmatrix}
- 0 \cdot \text{(какой-то минор, не важен, так как умножается на 0)}
]
Шаг 3. Вычислим каждый малый детерминант:
Первый минор:
[
\begin{vmatrix}
0 & 3 \
-2 & 1
\end{vmatrix} = (0 \cdot 1) - (3 \cdot -2) = 0 + 6 = 6
]
Второй минор:
[
\begin{vmatrix}
k & 3 \
-3 & 1
\end{vmatrix} = (k \cdot 1) - (3 \cdot -3) = k + 9
]
Шаг 4. Подставляем обратно:
[
\det(A) = 4 \cdot 6 - (-2) \cdot (k + 9) = 24 + 2(k + 9) = 24 + 2k + 18 = 42 + 2k
]
Шаг 5. Приравниваем к нулю:
[
42 + 2k = 0
]
Решим уравнение:
[
2k = -42 \Rightarrow k = -21
]
Ответ: (\boxed{k = -21})
