Постройте график функции у=8/х. По графику определите, при каких значения х: а) у>8 б) у>или равно -4 в) у<4 г) у< или равно -2
Рассмотрим функцию \( y = \frac{8}{x} \).
График этой функции — гипербола, расположенная в двум квадрантах: I и III (для \( x > 0 \) и \( x < 0 \) соответственно). Он симметричен относительно начала координат, так как функция — нечётная.
Для решения задач по графику, сначала отметим ключевые особенности графика:
- Область определения: \( x \neq 0 \).
- Ассимптоты: ось \( y = 0 \) (по оси \( x \)) и ось \( x = 0 \) (по вертикальной ассимптоте).
- При \( x > 0 \): \( y > 0 \), убывает при увеличении \( x \).
- При \( x < 0 \): \( y < 0 \), убывает при уменьшении \( x \).
Теперь решим каждое неравенство:
a) \( y > 8 \)
Рассмотрим неравенство: \(\frac{8}{x} > 8\)
Решим его:
\[ \frac{8}{x} > 8 \]
- Если \( x > 0 \), то умножаем оба члена на \( x \), сохраняя знак неравенства (так как \( x > 0 \)):
\[ 8 > 8x \Rightarrow 1 > x \]
Следовательно, при \( x > 0 \), неравенство верно для \( x < 1 \).
- Если \( x < 0 \), то при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется:
\[ \frac{8}{x} > 8 \Rightarrow \text{умножение на } x < 0 \Rightarrow \frac{8}{x} < 8 \]
Но здесь это противоречит началу. Лучше подставить числовые примеры, чтобы уточнить:
Например, при \( x = 0.5 \):
\[ \frac{8}{0.5} = 16 > 8 \]
— подходит. При \( x = 2 \):
\[ \frac{8}{2} = 4 < 8 \]
— не подходит.
При \( x = 0.1 \):
\[ \frac{8}{0.1} = 80 > 8 \]
— подходит.
При \( x = 1 \):
\[ \frac{8}{1} = 8 \Rightarrow y=8 \]
не строго больше 8, значит, чтобы \( y > 8 \), надо \( x < 1 \).
Итак, Ответ:
В области \( x > 0 \): \( y > 8 \) при \( 0 < x < 1 \).
В области \( x < 0 \):
Для отрицательных \( x \), \( y = \frac{8}{x} \) отрицательное число. Оно больше 8 невозможно, так как отрицательное — меньше 8. Значит, не выполняется.
Ответ (a): \( x \in (0, 1) \).
б) \( y \geq -4 \)
Рассмотрим:
\[ \frac{8}{x} \geq -4 \]
- Для \( x > 0 \):
\[ \frac{8}{x} \geq -4 \]
Так как \( \frac{8}{x} > 0 \) для \( x > 0 \), то \( \frac{8}{x} \geq -4 \) — всегда истинно, потому что \( -4 \) отрицательно, а \( y > 0 \).
Следовательно, при \( x > 0 \), выполняется для любого \( x > 0 \).
- Для \( x < 0 \):
\[ \frac{8}{x} \geq -4 \]
Здесь \( \frac{8}{x} < 0 \), так как \( x<0 \).
Рассмотрим неравенство:
\[ \frac{8}{x} \geq -4 \]
Умножим на \( x \) (отрицательное), знак неравенства меняется:
\[ 8 \leq -4x \]
\[ -4x \geq 8 \]
\[ -4x \geq 8 \]
Делим обе части на \(-4\), меняя знак:
\[ x \leq -2 \]
Но это при условии, что \( x<0 \) (что верно). Также для \( x < 0 \) и \( x \leq -2 \), неравенство выполняется.
Общий вывод:
Для \( x > 0 \): любого \( x > 0 \).
Для \( x < 0 \): \( x \leq -2 \).
Ответ (б): \( x \in (0, \infty) \cup (-\infty, -2] \).
в) \( y < 4 \)
Рассмотрим:
\[ \frac{8}{x} < 4 \]
- При \( x > 0 \):
\[ \frac{8}{x} < 4 \]
Умножаем на \( x > 0 \):
\[ 8 < 4x \Rightarrow x > 2 \]
- При \( x < 0 \):
\[ \frac{8}{x} < 4 \]
Умножая на отрицательное \( x \):
\[ 8 > 4x \]
\[ 2 > x \]
Но поскольку в области \( x<0 \), то это действительно:
\[ x < 0 \]
и при \( x < 0 \), условие всегда выполняется (так как \( x<0 \), и это условие \( x<2 \) — всё верно).
Но нужно удостовериться, что \( \frac{8}{x} < 4 \) при \( x<0 \):
- Например, при \( x=-1 \):
\[ \frac{8}{-1} = -8 < 4 \]
да, выполняется.
- При \( x = -3 \):
\[ \frac{8}{-3} \approx -2.67 < 4 \]
- При \( x = 3 \):
\[ \frac{8}{3} \approx 2.67 < 4 \]
но в области \( x > 0 \), нужно чтобы \( x > 2 \):
- Для \( x=3 \):
\[ 8/3 \approx 2.67 < 4 \]
да, для \( x>2 \), условие выполняется.
Итог:
- \( y < 4 \) при:
\[ x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \]
г) \( y \leq -2 \)
Рассмотрим:
\[ \frac{8}{x} \leq -2 \]
- Для \( x > 0 \):
\[ \frac{8}{x} \leq -2 \]
так как \( \frac{8}{x} > 0 \), а правый — отрицательный, неравенство невозможно.
- Для \( x < 0 \):
\[ \frac{8}{x} \leq -2 \]
Умножая на отрицательное \( x \):
\[ 8 \geq -2x \]
\[ -2x \leq 8 \]
Делим на \(-2\), знак меняется:
\[ x \geq -4 \]
Но \( x<0 \), следовательно:
\[ -4 \leq x < 0 \]
открытый интервал по \( x \), где выполняется условие.
Проверим пример:
- при \( x=-1 \):
\[ 8/(-1) = -8 \leq -2 \quad \text{верно} \]
- при \( x=-4 \):
\[ 8/(-4) = -2 \leq -2 \]
верно.
Ответ (г): \( x \in [-4, 0) \).
Итоговые ответы:
- (а) \( y > 8 \) при \( x \in (0, 1) \).
- (б) \( y \geq -4 \) при \( x \in (0, \infty) \cup (-\infty, -2] \).
- (в) \( y < 4 \) при \( x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \).
- (г) \( y \leq -2 \) при \( x \in [-4, 0) \).
Если нужно построить график — это гипербола, её части correspond to указанным интервалам.
