Постройте график функции у=8/х. По графику определите, при каких значения х: а) у>8 б) у>или равно -4 в) у<4 г) у< или равно -2

Рассмотрим функцию \( y = \frac{8}{x} \). График этой функции — гипербола, расположенная в двум квадрантах: I и III (для \( x > 0 \) и \( x < 0 \) соответственно). Он симметричен относительно начала координат, так как функция — нечётная. Для решения задач по графику, сначала отметим ключевые особенности графика: - Область определения: \( x \neq 0 \). - Ассимптоты: ось \( y = 0 \) (по оси \( x \)) и ось \( x = 0 \) (по вертикальной ассимптоте). - При \( x > 0 \): \( y > 0 \), убывает при увеличении \( x \). - При \( x < 0 \): \( y < 0 \), убывает при уменьшении \( x \). Теперь решим каждое неравенство: **a) \( y > 8 \)** Рассмотрим неравенство: \(\frac{8}{x} > 8\) Решим его: \[ \frac{8}{x} > 8 \] - *Если \( x > 0 \)*, то умножаем оба члена на \( x \), сохраняя знак неравенства (так как \( x > 0 \)): \[ 8 > 8x \Rightarrow 1 > x \] Следовательно, при \( x > 0 \), неравенство верно для \( x < 1 \). - *Если \( x < 0 \)*, то при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется: \[ \frac{8}{x} > 8 \Rightarrow \text{умножение на } x < 0 \Rightarrow \frac{8}{x} < 8 \] Но здесь это противоречит началу. Лучше подставить числовые примеры, чтобы уточнить: Например, при \( x = 0.5 \): \[ \frac{8}{0.5} = 16 > 8 \] — подходит. При \( x = 2 \): \[ \frac{8}{2} = 4 < 8 \] — не подходит. При \( x = 0.1 \): \[ \frac{8}{0.1} = 80 > 8 \] — подходит. При \( x = 1 \): \[ \frac{8}{1} = 8 \Rightarrow y=8 \] не строго больше 8, значит, чтобы \( y > 8 \), надо \( x < 1 \). Итак, **Ответ:** - В области \( x > 0 \): \( y > 8 \) при \( 0 < x < 1 \). - В области \( x < 0 \): Для отрицательных \( x \), \( y = \frac{8}{x} \) отрицательное число. Оно больше 8 невозможно, так как отрицательное — меньше 8. Значит, не выполняется. **Ответ (a):** \( x \in (0, 1) \). --- **б) \( y \geq -4 \)** Рассмотрим: \[ \frac{8}{x} \geq -4 \] - *Для \( x > 0 \)*: \[ \frac{8}{x} \geq -4 \] Так как \( \frac{8}{x} > 0 \) для \( x > 0 \), то \( \frac{8}{x} \geq -4 \) — всегда истинно, потому что \( -4 \) отрицательно, а \( y > 0 \). Следовательно, при \( x > 0 \), выполняется для любого \( x > 0 \). - *Для \( x < 0 \)*: \[ \frac{8}{x} \geq -4 \] Здесь \( \frac{8}{x} < 0 \), так как \( x<0 \). Рассмотрим неравенство: \[ \frac{8}{x} \geq -4 \] Умножим на \( x \) (отрицательное), знак неравенства меняется: \[ 8 \leq -4x \] \[ -4x \geq 8 \] \[ -4x \geq 8 \] Делим обе части на \(-4\), меняя знак: \[ x \leq -2 \] Но это при условии, что \( x<0 \) (что верно). Также для \( x < 0 \) и \( x \leq -2 \), неравенство выполняется. **Общий вывод:** - Для \( x > 0 \): любого \( x > 0 \). - Для \( x < 0 \): \( x \leq -2 \). **Ответ (б):** \( x \in (0, \infty) \cup (-\infty, -2] \). --- **в) \( y < 4 \)** Рассмотрим: \[ \frac{8}{x} < 4 \] - *При \( x > 0 \)*: \[ \frac{8}{x} < 4 \] Умножаем на \( x > 0 \): \[ 8 < 4x \Rightarrow x > 2 \] - *При \( x < 0 \)*: \[ \frac{8}{x} < 4 \] Умножая на отрицательное \( x \): \[ 8 > 4x \] \[ 2 > x \] Но поскольку в области \( x<0 \), то это действительно: \[ x < 0 \] и при \( x < 0 \), условие всегда выполняется (так как \( x<0 \), и это условие \( x<2 \) — всё верно). Но нужно удостовериться, что \( \frac{8}{x} < 4 \) при \( x<0 \): - Например, при \( x=-1 \): \[ \frac{8}{-1} = -8 < 4 \] да, выполняется. - При \( x = -3 \): \[ \frac{8}{-3} \approx -2.67 < 4 \] - При \( x = 3 \): \[ \frac{8}{3} \approx 2.67 < 4 \] но в области \( x > 0 \), нужно чтобы \( x > 2 \): - Для \( x=3 \): \[ 8/3 \approx 2.67 < 4 \] да, для \( x>2 \), условие выполняется. **Итог:** - \( y < 4 \) при: \[ x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \] --- **г) \( y \leq -2 \)** Рассмотрим: \[ \frac{8}{x} \leq -2 \] - *Для \( x > 0 \)*: \[ \frac{8}{x} \leq -2 \] так как \( \frac{8}{x} > 0 \), а правый — отрицательный, неравенство невозможно. - *Для \( x < 0 \)*: \[ \frac{8}{x} \leq -2 \] Умножая на отрицательное \( x \): \[ 8 \geq -2x \] \[ -2x \leq 8 \] Делим на \(-2\), знак меняется: \[ x \geq -4 \] Но \( x<0 \), следовательно: \[ -4 \leq x < 0 \] открытый интервал по \( x \), где выполняется условие. Проверим пример: - при \( x=-1 \): \[ 8/(-1) = -8 \leq -2 \quad \text{верно} \] - при \( x=-4 \): \[ 8/(-4) = -2 \leq -2 \] верно. **Ответ (г):** \( x \in [-4, 0) \). --- **Итоговые ответы:** - (а) \( y > 8 \) при \( x \in (0, 1) \). - (б) \( y \geq -4 \) при \( x \in (0, \infty) \cup (-\infty, -2] \). - (в) \( y < 4 \) при \( x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \). - (г) \( y \leq -2 \) при \( x \in [-4, 0) \). Если нужно построить график — это гипербола, её части correspond to указанным интервалам.