Найдите точку минимума функции y=(4x216x+16)ex9y = (4x^2 - 16x + 16) e^{x - 9}.
Давайте внимательно решим задачу — найдём точку минимума функции:
\[ y = (4x^2 - 16x + 16) e^{x - 9} \]
Шаг 1: Расположение функции и её составляющих
Функция представляет собой произведение двух частей:
- Полинома: \( 4x^2 - 16x + 16 \)
- Экспоненциальной функции: \( e^{x - 9} \)
Для поиска минимума необходима первая и вторая производные, чтобы найти точки экстремума и определить их характер.
Шаг 2: Нахождение первой производной \( y' \)
Будем применять правило дифференцирования произведения:
\[ y' = (u \cdot v)' = u'v + uv' \]
где:
- \( u = 4x^2 - 16x + 16 \)
- \( v = e^{x - 9} \)
Вычислим \( u' \):
\[ u' = 8x - 16 \]
Вычислим \( v' \):
\[ v' = e^{x - 9} \] (производная экспоненты по \( x \) равна сама себе)
Первое дифференцирование:
\[ y' = (8x -16) e^{x - 9} + (4x^2 - 16x + 16) e^{x - 9} \]
Объединим:
\[ y' = \left( 8x - 16 + 4x^2 - 16x + 16 \right) e^{x - 9} \]
Внутри скобок сложим подобные члены:
\[ 4x^2 + (8x - 16x) + (-16 + 16) = 4x^2 - 8x + 0 = 4x^2 - 8x \]
Итак,
\[ y' = (4x^2 - 8x) e^{x - 9} \]
Шаг 3: Находим точки экстремума (\( y' = 0 \))
Поскольку \( e^{x - 9} \) никогда не равна нулю, уравнение:
\[ y' = 0 \]
равносильно:
\[ 4x^2 - 8x = 0 \]
вынесем общий множитель:
\[ 4x (x - 2) = 0 \]
Отсюда:
\[ x = 0 \quad или \quad x = 2 \]
Это — кандидатные точки экстремума (минимум или максимум).
Шаг 4: Анализ второго производного \( y'' \) для определения типа экстремума
Рассчитаем вторую производную \( y'' \), чтобы определить, в каких точках — минимум или максимум.
Запомним:
\[ y' = (4x^2 - 8x) e^{x - 9} \]
Обозначим:
\[ u(x) = 4x^2 - 8x \] \[ v(x) = e^{x - 9} \]
Тогда:
\[ y' = u(x) \cdot v(x) \]
Производная по \( x \):
\[ y'' = u' v + u v' \]
Рассчитаем:
- \( u' = 8x - 8 \)
- \( v' = e^{x - 9} \)
Подставим:
\[ y'' = (8x - 8) e^{x - 9} + (4x^2 - 8x) e^{x - 9} \]
Вынесем \( e^{x - 9} \):
\[ y'' = \left( 8x - 8 + 4x^2 - 8x \right) e^{x - 9} \]
Сложим внутри скобок:
\[ (8x - 8) + 4x^2 - 8x = 4x^2 - 8 \]
Итак, вторая производная:
\[ y'' = (4x^2 - 8) e^{x - 9} \]
Теперь подставим найденные точки \( x \):
Для \( x=0 \):
\[ y''(0) = (4 \cdot 0^2 - 8) e^{0 - 9} = (-8) e^{-9} \]
Поскольку \( e^{-9} > 0 \):
\[ y''(0) < 0 \]
Значит, в точке \( x=0 \) — локальный максимум.
Для \( x=2 \):
\[ y''(2) = (4 \cdot 2^2 - 8) e^{2 - 9} = (4 \cdot 4 - 8) e^{-7} = (16 - 8) e^{-7} = 8 e^{-7} \]
Это число положительно, значит — в точке \( x=2 \) — локальный минимум.
Ответ:
- Точка минимума функции — при \( x=2 \).
- Значение функции в этой точке:
\[ y(2) = (4 \cdot 2^2 - 16 \cdot 2 + 16) e^{2 - 9} \]
Вычислим:
\[ 4 \cdot 4 - 32 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 \]
И делаем вывод, что:
\[ y(2) = 0 \cdot e^{-7} = 0 \]
Итог:
Точка минимума — при \( x=2 \), значение функции — \( y=0 \).
Если нужны дополнительные пояснения или проверка — обращайтесь!
