Найдите точку минимума функции y=(4x216x+16)ex9y = (4x^2 - 16x + 16) e^{x - 9}.

Давайте внимательно решим задачу — найдём точку минимума функции: \[ y = (4x^2 - 16x + 16) e^{x - 9} \] ### Шаг 1: Расположение функции и её составляющих Функция представляет собой произведение двух частей: - Полинома: \( 4x^2 - 16x + 16 \) - Экспоненциальной функции: \( e^{x - 9} \) Для поиска минимума необходима первая и вторая производные, чтобы найти точки экстремума и определить их характер. --- ### Шаг 2: Нахождение первой производной \( y' \) Будем применять правило дифференцирования произведения: \[ y' = (u \cdot v)' = u'v + uv' \] где: - \( u = 4x^2 - 16x + 16 \) - \( v = e^{x - 9} \) **Вычислим \( u' \):** \[ u' = 8x - 16 \] **Вычислим \( v' \):** \[ v' = e^{x - 9} \] (производная экспоненты по \( x \) равна сама себе) **Первое дифференцирование:** \[ y' = (8x -16) e^{x - 9} + (4x^2 - 16x + 16) e^{x - 9} \] Объединим: \[ y' = \left( 8x - 16 + 4x^2 - 16x + 16 \right) e^{x - 9} \] Внутри скобок сложим подобные члены: \[ 4x^2 + (8x - 16x) + (-16 + 16) = 4x^2 - 8x + 0 = 4x^2 - 8x \] Итак, \[ y' = (4x^2 - 8x) e^{x - 9} \] --- ### Шаг 3: Находим точки экстремума (\( y' = 0 \)) Поскольку \( e^{x - 9} \) никогда не равна нулю, уравнение: \[ y' = 0 \] равносильно: \[ 4x^2 - 8x = 0 \] вынесем общий множитель: \[ 4x (x - 2) = 0 \] Отсюда: \[ x = 0 \quad или \quad x = 2 \] Это — кандидатные точки экстремума (минимум или максимум). --- ### Шаг 4: Анализ второго производного \( y'' \) для определения типа экстремума Рассчитаем вторую производную \( y'' \), чтобы определить, в каких точках — минимум или максимум. **Запомним:** \[ y' = (4x^2 - 8x) e^{x - 9} \] Обозначим: \[ u(x) = 4x^2 - 8x \] \[ v(x) = e^{x - 9} \] Тогда: \[ y' = u(x) \cdot v(x) \] Производная по \( x \): \[ y'' = u' v + u v' \] Рассчитаем: - \( u' = 8x - 8 \) - \( v' = e^{x - 9} \) Подставим: \[ y'' = (8x - 8) e^{x - 9} + (4x^2 - 8x) e^{x - 9} \] Вынесем \( e^{x - 9} \): \[ y'' = \left( 8x - 8 + 4x^2 - 8x \right) e^{x - 9} \] Сложим внутри скобок: \[ (8x - 8) + 4x^2 - 8x = 4x^2 - 8 \] Итак, вторая производная: \[ y'' = (4x^2 - 8) e^{x - 9} \] Теперь подставим найденные точки \( x \): **Для \( x=0 \):** \[ y''(0) = (4 \cdot 0^2 - 8) e^{0 - 9} = (-8) e^{-9} \] Поскольку \( e^{-9} > 0 \): \[ y''(0) < 0 \] Значит, в точке \( x=0 \) — локальный максимум. --- **Для \( x=2 \):** \[ y''(2) = (4 \cdot 2^2 - 8) e^{2 - 9} = (4 \cdot 4 - 8) e^{-7} = (16 - 8) e^{-7} = 8 e^{-7} \] Это число положительно, значит — в точке \( x=2 \) — локальный минимум. --- ### **Ответ:** - Точка минимума функции — при \( x=2 \). - Значение функции в этой точке: \[ y(2) = (4 \cdot 2^2 - 16 \cdot 2 + 16) e^{2 - 9} \] Вычислим: \[ 4 \cdot 4 - 32 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 \] И делаем вывод, что: \[ y(2) = 0 \cdot e^{-7} = 0 \] ### Итог: **Точка минимума** — при \( x=2 \), **значение функции** — \( y=0 \). --- Если нужны дополнительные пояснения или проверка — обращайтесь!