Постройте график функции y= [x(x+4), если x20 -x(x+4)если x<0 и определите, при каких значениях а прямая у = а имеет с графиком ровно три общие точки.
Давайте подробно разберем задачу.
Условие задачи:
Нам дана функция: \[ y = \begin{cases} x(x+4), & \text{если } x \ge 0 \\ - x(x+4), & \text{если } x < 0 \end{cases} \]
и необходимо:
- Построить график этой функции.
- Определить, при каких значениях параметра \(a\) прямая \(y = a\) имеет ровно три точки пересечения с графиком функции.
Шаг 1. Анализ функции
Запишем подробнее каждую часть функции:
- Для \(x \ge 0\): \[ y = x^2 + 4x \]
- Для \(x < 0\): \[ y = - (x^2 + 4x) = -x^2 - 4x \]
Самые важные свойства:
- Область определения: вся числовая ось.
- Лежит из двух частей, где одна — парабола \(y = x^2 + 4x\) с ветвью вверх, вторая — парабола \(-x^2 - 4x\) с ветвью вниз, для отрицательных \(x\).
Шаг 2. Построение графика
Для \(x \ge 0\):
Парабола \(y = x^2 + 4x\):
Вершина находится по формуле \(x_{верш} = -\frac{b}{2a} = - \frac{4}{2} = -2\), но так как \(x \ge 0\), вершина за пределами данной области, и рассматриваем только ветвь для \(x \ge 0\).
Значение в точке \(x=0\): \[ y = 0^2 + 4 \times 0 = 0 \]
В для \(x \to \infty\), \(y \to \infty\).
Для \(x < 0\):
Парабола \(y = -x^2 - 4x\):
Вершина: \[ x_{верш} = - \frac{-4}{2 \times (-1)} = - \frac{-4}{-2} = - 2 \]
Значение в вершине: \[ x = -2 \] \[ y = -(-2)^2 - 4 \times (-2) = -4 + 8 = 4 \]
На интервале \(x<0\), функция принимает значения до 4, а при \(x\to -\infty\), \(y \to -\infty\).
Шаг 3. Анализ пересечений с прямой \(y=a\)
Рассмотрим прямую: \[ y = a \]
Нужно, чтобы уравнение \(a = y\) имело ровно 3 решения с графиком функции.
Рассмотрим случаи:
1) Когда \(a > 0\)
Пересечение с верхней ветвью (для \(x \ge 0\)): \[ x^2 + 4x = a \] Это квадратное уравнение: \[ x^2 + 4x - a = 0 \]
Касательный случай (одно решение) — дискриминант равен нулю: \[ D = 16 + 4a = 0 \Rightarrow a < -4 \] но это не подходит, поскольку \(a > 0\). Тогда, для \(a > 0\), уравнение имеет два корня (если дискриминант положителен).
Рассмотрим решение: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4a}}{2} = -2 \pm \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \] Обозначим: \[ x_{1,2} = -2 \pm \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \]
Для \(x \ge 0\), чтобы корень действительно был в области \(x \ge 0\): \[ x \ge 0 \]
Проверим на примере:
- Если \(x_1 \ge 0\), то он — решение в верхней области.
- Аналогично, другие корни — при \(x \ge 0\) или нет?
Посмотрим, при каких \(a\) корень больше нуля. Например:
\[ x = -2 + \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \]
Для \(x \ge 0\): \[ -2 + \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \ge 0 \] \[ \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \ge 2 \] \[ \sqrt{16 + 4a} \ge 4 \] \[ 16 + 4a \ge 16 \] \[ 4a \ge 0 \] \[ a \ge 0 \]
Так что при \(a \ge 0\), есть один корень в области \(x \ge 0\).
2) Пересечения с нижней ветвью (для \(x<0\))
уравнение: \[ a = -x^2 - 4x \] \[ x^2 + 4x + a = 0 \]
Дискриминант: \[ D = 16 - 4a \]
- Корни есть при \(D \ge 0\): \[ 16 - 4a \ge 0 \Rightarrow a \le 4 \]
Корни: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4a}}{2} = -2 \pm \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2} \]
Для штучных решений \(x<0\):
- Рассмотрим оба корня: \[ x_1 = -2 + \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2} \] \[ x_2 = -2 - \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2} \]
- Из них \(x_2 < 0\) всегда (так как там минус), а \(x_1\) может быть >= 0 или <0 в зависимости от \(a\).
Итоговое решение для определения количества пересечений:
- Должно быть ровно 3 точки пересечения.
Это может случиться, если:
- одна точка — при пересечении с верхним ветвью (для \(x \ge 0\))
- две точки — при пересечении с нижней ветвью (для \(x<0\)), но только если оба корня удовлетворяют условию \(x<0\).
Итог:
Случай 1: \(a\) так, чтобы было 1 пересечение с верхней частью и 2 с нижней:
- Пересечение с вершиной:
Для \(a\) в диапазоне от 0 до 4, оба уравнения дают корни, причём:
- Один корень \(x \ge 0\),
- Другие— оба — \(x<0\).
При этом, чтобы было ровно 3 пересечения, необходимо, чтобы:
- Уравнение для верхней части имело ровно 1 корень \(x \ge 0\),
- Уравнение для нижней части — ровно 2 корня \(x<0\).
Ключевые точки:
Если \(a \in (0,4)\):
- Верхняя часть: \[ x = -2 \pm \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \] Чтобы был один \(x \ge 0\): \[ x_2 = -2 - \frac{\sqrt{16+4a}}{2} < 0 \] и \[ x_1 = -2 + \frac{\sqrt{16+4a}}{2} \ge 0 \] должно выполняться.
Для нижней части:
\[ x = -2 \pm \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2} \] Здесь оба корня — отрицательные, когда дискриминант положителен (то есть при \(a<4\)), что подходит.
Ответ:
При \(a\), между 0 и 4, прямая \(y=a\) пересекает график ровно три раза, если:
На верхней части (\(x \ge 0\)): \[ x = -2 + \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \ge 0 \] что при \(a \in (0,4)\) выполняется, так как:
\[ a \ge 0, \text{ и все корни есть} \]
На нижней части (\(x<0\)): оба решения (\(x = -2 \pm \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2}\)) — отрицательные, что выполняется при \(a \in (0,4)\).
Итоговая формулировка:
\[ \boxed{ \text{Прямая } y=a \text{ имеет ровно три общие точки с графиком функции при } a \in (0,4) } \]
Если нужно построить график — объедините части функции: вверх для \(x\ge0\), вниз для \(x<0\), и проведите линию \(y=a\) для выбранных значений \(a\) из интервала \((0,4)\).
Если потребуется, я с радостью помогу вам с построением графика или дополнительно объясню.
