Постройте график функции y= [x(x+4), если x20 -x(x+4)если x<0 и определите, при каких значениях а прямая у = а имеет с графиком ровно три общие точки.

Давайте подробно разберем задачу. --- ## Условие задачи: Нам дана функция: \[ y = \begin{cases} x(x+4), & \text{если } x \ge 0 \\ - x(x+4), & \text{если } x < 0 \end{cases} \] и необходимо: 1. Построить график этой функции. 2. Определить, при каких значениях параметра \(a\) прямая \(y = a\) имеет ровно три точки пересечения с графиком функции. --- ## Шаг 1. Анализ функции Запишем подробнее каждую часть функции: - Для \(x \ge 0\): \[ y = x^2 + 4x \] - Для \(x < 0\): \[ y = - (x^2 + 4x) = -x^2 - 4x \] Самые важные свойства: - Область определения: вся числовая ось. - Лежит из двух частей, где одна — парабола \(y = x^2 + 4x\) с ветвью вверх, вторая — парабола \(-x^2 - 4x\) с ветвью вниз, для отрицательных \(x\). --- ## Шаг 2. Построение графика ## Для \(x \ge 0\): Парабола \(y = x^2 + 4x\): - Вершина находится по формуле \(x_{верш} = -\frac{b}{2a} = - \frac{4}{2} = -2\), но так как \(x \ge 0\), вершина за пределами данной области, и рассматриваем только ветвь для \(x \ge 0\). - Значение в точке \(x=0\): \[ y = 0^2 + 4 \times 0 = 0 \] - В для \(x \to \infty\), \(y \to \infty\). ## Для \(x < 0\): Парабола \(y = -x^2 - 4x\): - Вершина: \[ x_{верш} = - \frac{-4}{2 \times (-1)} = - \frac{-4}{-2} = - 2 \] - Значение в вершине: \[ x = -2 \] \[ y = -(-2)^2 - 4 \times (-2) = -4 + 8 = 4 \] - На интервале \(x<0\), функция принимает значения до 4, а при \(x\to -\infty\), \(y \to -\infty\). --- ## Шаг 3. Анализ пересечений с прямой \(y=a\) Рассмотрим прямую: \[ y = a \] Нужно, чтобы уравнение \(a = y\) имело **ровно 3 решения** с графиком функции. Рассмотрим случаи: ### 1) Когда \(a > 0\) Пересечение с верхней ветвью (для \(x \ge 0\)): \[ x^2 + 4x = a \] Это квадратное уравнение: \[ x^2 + 4x - a = 0 \] Касательный случай (одно решение) — дискриминант равен нулю: \[ D = 16 + 4a = 0 \Rightarrow a < -4 \] но это не подходит, поскольку \(a > 0\). Тогда, для \(a > 0\), уравнение имеет два корня (если дискриминант положителен). Рассмотрим решение: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4a}}{2} = -2 \pm \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \] Обозначим: \[ x_{1,2} = -2 \pm \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \] Для \(x \ge 0\), чтобы корень действительно был в области \(x \ge 0\): \[ x \ge 0 \] Проверим на примере: - Если \(x_1 \ge 0\), то он — решение в верхней области. - Аналогично, другие корни — при \(x \ge 0\) или нет? Посмотрим, при каких \(a\) корень больше нуля. Например: \[ x = -2 + \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \] Для \(x \ge 0\): \[ -2 + \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \ge 0 \] \[ \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \ge 2 \] \[ \sqrt{16 + 4a} \ge 4 \] \[ 16 + 4a \ge 16 \] \[ 4a \ge 0 \] \[ a \ge 0 \] Так что при \(a \ge 0\), есть один корень в области \(x \ge 0\). --- ### 2) Пересечения с нижней ветвью (для \(x<0\)) уравнение: \[ a = -x^2 - 4x \] \[ x^2 + 4x + a = 0 \] Дискриминант: \[ D = 16 - 4a \] - Корни есть при \(D \ge 0\): \[ 16 - 4a \ge 0 \Rightarrow a \le 4 \] Корни: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4a}}{2} = -2 \pm \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2} \] Для **штучных решений \(x<0\)**: - Рассмотрим оба корня: \[ x_1 = -2 + \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2} \] \[ x_2 = -2 - \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2} \] - Из них \(x_2 < 0\) всегда (так как там минус), а \(x_1\) может быть >= 0 или <0 в зависимости от \(a\). --- ## Итоговое решение для определения количества пересечений: - **Должно быть ровно 3 точки пересечения.** Это может случиться, если: - одна точка — при пересечении с верхним ветвью (для \(x \ge 0\)) - две точки — при пересечении с нижней ветвью (для \(x<0\)), но только если оба корня удовлетворяют условию \(x<0\). --- ## Итог: ### Случай 1: \(a\) так, чтобы было 1 пересечение с верхней частью и 2 с нижней: - Пересечение с вершиной: Для \(a\) в диапазоне от 0 до 4, оба уравнения дают корни, причём: - Один корень \(x \ge 0\), - Другие— оба — \(x<0\). При этом, чтобы было ровно 3 пересечения, необходимо, чтобы: 1. Уравнение для верхней части имело ровно 1 корень \(x \ge 0\), 2. Уравнение для нижней части — ровно 2 корня \(x<0\). --- ## Ключевые точки: - Если \(a \in (0,4)\): - Верхняя часть: \[ x = -2 \pm \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \] Чтобы был один \(x \ge 0\): \[ x_2 = -2 - \frac{\sqrt{16+4a}}{2} < 0 \] и \[ x_1 = -2 + \frac{\sqrt{16+4a}}{2} \ge 0 \] должно выполняться. - Для нижней части: \[ x = -2 \pm \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2} \] Здесь оба корня — отрицательные, когда дискриминант положителен (то есть при \(a<4\)), что подходит. --- ## **Ответ:** ### При **\(a\)**, между **0 и 4**, **прямая \(y=a\)** пересекает график ровно **три раза**, если: - **На верхней части (\(x \ge 0\))**: \[ x = -2 + \frac{\sqrt{16 + 4a}}{2} \ge 0 \] что при \(a \in (0,4)\) выполняется, так как: \[ a \ge 0, \text{ и все корни есть} \] - **На нижней части (\(x<0\))**: оба решения (\(x = -2 \pm \frac{\sqrt{16 - 4a}}{2}\)) — отрицательные, что выполняется при \(a \in (0,4)\). --- ## Итоговая формулировка: \[ \boxed{ \text{Прямая } y=a \text{ имеет ровно три общие точки с графиком функции при } a \in (0,4) } \] --- Если нужно построить график — объедините части функции: вверх для \(x\ge0\), вниз для \(x<0\), и проведите линию \(y=a\) для выбранных значений \(a\) из интервала \((0,4)\). --- Если потребуется, я с радостью помогу вам с построением графика или дополнительно объясню.