В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 6 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 5, и доели…

Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, сколько головок сыра было в погребе изначально.

Обозначим:

• Общее количество головок сыра — X.
• Количество мышек, пришедших в первую ночь — n.

Шаг 1: Первая ночь (мышки съели поровну)
Все мышки совместно съели 6 головок сыра.
Поскольку все мышки съели одинаково, то сумма их съеденного сыра равна 6, а количество мышек — n, значит, каждая мышка съела:

\[ \frac{6}{n} \]

Остаток сыра после первой ночи:

\[ X - 6 \]

Шаг 2: Вторая ночь (пришли 5 мышек, каждая съела в два раза меньше, чем на первой)
На второй ночи пришли только 5 мышек, они доели оставшийся сыр.
Каждая мышка съела в два раза меньше, чем в первую ночь, то есть:

\[ 2 \times \frac{6}{n} = \frac{12}{n} \]

Общий съеденный сыра в течение второй ночи:

\[ 5 \times \frac{12}{n} = \frac{60}{n} \]

После второй ночи в погребе не осталось сыра, значит:

\[ X - 6 - \frac{60}{n} = 0 \]

Отсюда можно выразить исходное количество сырных головок:

\[ X = 6 + \frac{60}{n} \]

Чтобы пересчитать это в целое число, необходимое для количества головок сыра, в первую очередь отметим, что \(X\) и \(n\) — целые числа.

Также заметим, что сумма сырных головок, съеденных обеими группами, равна:

\[ 6 + \frac{60}{n} \]

Чтобы \(X\) было целым числом, \(60/n\) должно быть целым числом, то есть \(n\) — делитель 60.

Переберем делители числа 60:

\[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \]

Для каждого делителя \(n\) вычислим \(X\):

\[ X = 6 + \frac{60}{n} \]

Проверим:

• \(n=1\): \(X=6 + 60/1=66\)
• \(n=2\): \(X=6 + 30=36\)
• \(n=3\): \(X=6 + 20=26\)
• \(n=4\): \(X=6 + 15=21\)
• \(n=5\): \(X=6 + 12=18\)
• \(n=6\): \(X=6 + 10=16\)
• \(n=10\): \(X=6 + 6=12\)
• \(n=12\): \(X=6 + 5=11\)
• \(n=15\): \(X=6 + 4=10\)
• \(n=20\): \(X=6 + 3=9\)
• \(n=30\): \(X=6 + 2=8\)
• \(n=60\): \(X=6 + 1=7\)

Теперь проверим логическую последовательность:

• В первой ночи мышки съели 6 головок, и все было ровно поровну.
• Во второй ночи остается \(X - 6\) головок.
• Количество мышек, пришедших во вторую ночь — 5.
• Каждая съели в два раза меньше, чем в первую ночь, то есть \(\frac{6}{n}\) в полтора раза больше, а не меньше или в два раза? В условии сказано «в два раза меньше», то есть,

\[ \text{вторая ночь:} \quad \frac{6}{n} \div 2 = \frac{3}{n} \]

Похоже, возникло недоразумение: условие гласит, что каждая мышка во вторую ночь съела в два раза меньше сыра, чем в первую, значит, каждая съела:

\[ \frac{6}{n} \div 2 = \frac{3}{n} \]

Общая съеденная мышками за вторую ночь:

\[ 5 \times \frac{3}{n} = \frac{15}{n} \]

Это важный момент — уточнение. Тогда уравнение по итогам выглядит так:

\[ X - 6 - \frac{15}{n} = 0 \]

Отсюда:

\[ X = 6 + \frac{15}{n} \]

Красивая картина: \(\frac{15}{n}\) должна быть целой, то есть \(n\) — делитель 15.

Делители 15 — это \(1, 3, 5, 15\).

Переберем их:

• \(n=1\): \(X=6 + 15/1=6+15=21\)
• \(n=3\): \(X=6 + 5=11\)
• \(n=5\): \(X=6 + 3=9\)
• \(n=15\): \(X=6 + 1=7\)

Все эти значения предполагают, что в первой ночь мышки съели поровну, то есть, что \(n\) — целое число, и все сыра было съедено за обе ночи.

Проверим логичность:

• Например, \(n=3\):

Первая ночь: каждая мышка съела \(6/3=2\) головки.

Общий съеденный за первую ночь: 6 головок (верно).

Остаток сыра: \(X - 6 = 11 - 6=5\).

Вторая ночь — только 5 мышек, каждая съедает в два раза меньше, чем в первую ночь: \(\frac{2}{2}=1\) головка.

Общий съеденный за вторую ночь: \(5 \times 1=5\), что ровно весь оставшийся сыр.

Это подтверждается. Аналогично для других вариантов.

Таким образом, правильный и логичный ответ — общее число головок сыра в погребе было 11.

---

Ответ: 11 головок сыра.